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hungs-Axe der beiden gegebenen congruenten Flächen, und 

 beweise, dass sie nur dann zu einer unendlichen Anzahl congruen- 

 ter Stücke führt, wenn die gegebenen Flächen in gleichem Sinne 

 congruent sind und ihr Drehungscentrum in ihrem Innern liegt ; 

 die Ergänzung des BÖLYAi'schen Beweises wie auch ihre Verallge- 

 meinerung auf vielfach zusammenhängende Flächen ergibt sich 

 dann von selber durch geeignete Querschnitte. 



d) Diese Sätze können sämmtlich auf Flächen von constan- 

 ter Krümmung übertragen werden, teilweise auch auf räumliche 

 Systeme. Mit diesen Verallgemeinerungen werde ich mich jedoch 

 bei dieser Gelegenheit nicht befassen. 



§ 1. Zwei Linien, Flächen, Räume sind endlich-gleich, tcenn 

 sie ans einer endlichen Anzahl von gegenseitig congruenten (positi- 

 venj Stücken zusammengesetzt sind. Das Symbol der endlichen 

 Gleichheit sei:* A^B. 



1. Aus der Definition folgt, dass zwei endlich- gleiche Linien, 

 Flächen, Räume A und B beliebig zerlegt, die Systeme bestehend 

 aus den Stücken xon A respective B endlich- gleich sind. 



Es sei Ai=Bi und Ai resp. Bi zerlegt in Au, Ai^ . . . Aim, 

 resp. Bit, Bi^ . . . Bin. Wir wollen annehmen, dass Ai und Bi Flä- 

 chen sind. Wir bringen die aus den Stücken Bu, Bi^, . . . Bin 

 bestehende Fläche Bi zur Deckung mit der aus den Stücken Au, 

 Ai9,, . . . Aim bestehenden Fläche Ai, und übertragen die auf der 

 Fläche Ai (resp. Bi) gezeichneten Grenzlinien ihrer Stücke Aij 

 (resp. Bij) auf die Fläche Bi (resp. Ai). Alle diese Linien schneiden 

 sich in einer endlichen Anzahl von Punkten, und teilen demzu- 

 folge die Systeme Au, Ai%, . . . Aim, Bu, Bi^ . . . Bin in Stücke, die 

 sich paarweise decken. Wir haben also die Gleichung 



(Au, Ai% . . . Aim) = {Bu, Bi% . . . Bin). 



Nun bedeutet der Ausspruch A — B, der Definition der end- 

 lichen Gleichheit zufolge, dass A und B in eine endliche Anzahl 

 congruenter Stücke y4i resp. Bi zerlegt werden können. Demzufolge 

 bleiben endlich-gleiche Flächen auch nach willkürlicher Zerstücke- 

 lung endlich-gleich. — Der Beweis bleibt derselbe, wenn A und B 



* BÖLYAi, Tentamen, Toni. I. p. 21. 



