ENDLICH-GLEICHE FLACHEN. 



173 



Linien oder Eäume sind; an Stelle der Linien treten in den Con- 

 structionen Teilnngspunkte resp. Teilnngsfiäclien. 



2. Aus dem Begriff der endlichen Gleichheit fliesst in Folge 

 dieses Satzes unmittelbar der folgende Satz : 



Ist in der Reihe der Linien, resp. Flächen, Eäume A\, A^, . . . 

 An ein jedes Glied endlich-gleich dem folgenden, so sind sämm.t- 

 lichc Glieder der Reihe endlich- gleich. * 



3. Parallelogramme von gleichem J^lächeninhalt und gegen- 

 seitig gleichen Winkeln sind endlich- gleich. (Tafel III. Fig. 1.) 



Construction. Sind AB und A'B' die kürzern Seiten der 

 Parallelogramme ABCD und A'B'C'D' und B=B' , so trage 

 man die Strecke A'B' {AB) von Punkte AA' aus sovielmal auf 

 die Seite AB {A'Jj') bis von diesem ein Stück AiD (A'iD') übrig- 

 bleibt, welches kleiner ist als die aufgetragene Strecke A'B' {AB). 

 Der letzte Teilungspunkt auf der Seite AD sei Ai, der vorletzte 

 Aq, auf der Seite A'D' resp. A'i, Äq. (In unserer Zeichnung ist 

 A=A,=A'=Äo; B=B,=B'=B'o). 



Man ziehe durch sämmtliche Teilungspunkte Parallele zur 

 Seite AB resp. A'B' durch welche die gegebenen Flächen in con- 

 gruente Parallelogramme und die flächengleichen Parallelogramme 

 AiDCCi resp. A'iD'C'C'i zerlegt werden. 



Man trage auf DD^^A^^A^ und D'D'i—A'oÄr, ziehe die 

 Diagonalen AqC^ resp. A'o C'\ ; führe durch die Punkte Di resp. 

 D[ Parallele zu den Seiten DC resp. D'G', die auf den Diagonalen 

 die Punkte E resp. E' ausschneiden ; man lege endlich durch 

 diese Punkte E resp. E' die Geraden EFies^. ET' parallel zu 

 den Seiten BqC resp. B'qC. 



Die beiden flächengleichen Parallelogramme sind dann in 

 gegenseitig congruente Stücke getheilt. 



Beweis. Der Construction zufolge sind die Dreiecke A^Effi^ 

 und ÄoB'oC'i congruent, daher AqGi = ÄoG'i. Nehmen icir an, 

 dass DiAi = r'G'; dann folgt aus D^A^^EF und r'C = F'C'u 

 dass EF=F'C'i ; daher sind die Dreiecke EFG^ und E'F'G'i, deren 

 Winkel entsprechend gleich sind, congruent; also FC^^F'E'. Da 

 nun die Winkel und Seiten der Parallelogramme 3 und 3' entspre- 



* BÖLYAi a. a. 0. 



