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chend gleich sind (nämlich F=F', FC,=FE', FE=F'C\) so 

 besteht 3 s^ 3'. Die Congruenz der Dreiecke 6 und 6' folgt aus 

 Di = D'u Aq=E' und AqDi = D'iE' ; wir haben nämlich AqA^ = 

 D'C und 



AqDi =AqAi DiA^ , 



D'iE'^D'O—rC, 



daher sind infolge der Annahme D^A^ = r'C' die Seiten AqD^ und 

 D'iE' gleich. Daraus folgt die Gleichung D^E=I)\Äq. 



Aus den Congruenzen 1^1', 2^2', 3^3', 6^6' folgt ferner, 

 das die Summe der Flächen 4 und 5 gleich ist der Summe der 

 Flächen 4' und 5' ; und aus der Gleichheit der Grundlinien dieser 

 Parallelogramme folgt dalier die ihrer Höhen. Mithin bestehen die 

 Congruenzen 4^4', S^^ö'. 



Wir haben also erwiesen, dass falls D^A^^FC ist, die gege- 

 benen Parallelogramme in gegenseitig congruente Stücke geteilt 

 sind. Die Eichtigkeit der Annahme D^A^^fC folgt aber daraus, 

 dass sie zur Consequenz die Eelation AoA'i=^D'iD' hat, da bei der 

 Eindeutigkeit und Umkehrbarkeit der Constructionen AoÄi = DiD' 

 und DiA^=^r'G' äquivalente Bedingungen sind. 



4. Flächengleiche geradlinige Polygone sind endlich- gleich. 



Dass flächengleiche Dreiecke endlich-gleich sind, wird wie folgt 

 bewiesen (Tafel III, Fig. 2a, 2b). Falls die Dreiecke ABC und A'B'C 

 stumpfe Winkel besitzen, sollen diese mit C,C' bezeichnet sein. 

 Wir ziehen CD LAB, G'D'±A'B' ; dann liegen D und D' auf den 

 Strecken AB resp. A'B'. Ferner führen wir durch die Halbirungs- 

 punkte E und E' der Seiten AG resp. A'G' Parallele zu den 

 Grundlinien AB resp. A'B' und durch die Endpunkte dieser ihre 

 Normalen AG, A'G', BF, B'F . Man sieht unmittelbar, dass die 

 Dreiecke ABG und A'B'G' endlich-gleich sind den Eechtecken 

 ABFG resp. A'B'FG'. Aus der endhchen Gleichheit dieser 

 Eechtecke (3) folgt daher die der Dreiecke mit Hilfe des Satzes 2. 



Wir beweisen nun den Satz 4) durch Schluss von n auf n-\-l 

 mit Hilfe der bekannten Construction, die ein yi-f-l-Eck in ein 

 ?i-Eck überführt. Wenn nämlich der Winkel an der 7i+l-ten Ecke 

 C<180° ist, so bringt diese Construction (Fig. 3) an Stelle des 

 Dreiecks ABG ein ihm flächengleiches Dreieck ABG'; ist C>180, 

 so bringt sie an Stelle des Dreiecks BG'D das Dreieck AGD (Fig 4) ; 



