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M[M^ liegenden Fläche, die keinen Teil des Systems bildet. In 

 allen Fällen construirt man durch Wiederholung dieses Verfahrens 

 nach einer endlichen Anzahl von Schnitten ein dem A endlich- 

 gleiches Flächen -System A', dessen Begrenzung keine congruen- 

 ten Stücke von entgegengesetztem Krümmungssinn enthält. Ebenso 

 kann man vom System B auf ein System B' von solcher Beschaf- 

 fenheit übergehen. 



Es sei ferner der Bogen P^P^ (P1P2) der Grenze von A con- 

 gruent dem Bogen Q1Q2 (QiQa) der Grenze von B und von glei- 

 chem Krümmungsinn ; dann nehmen diese Bögen auch an der 

 Begrenzung von A' und B' Teil. Zwei Fälle sind möglich : entwe- 

 der sind die genannten Bögen beide positiv oder beide negativ. Im 

 ersten Fall teile man die Systeme A' und B' in je zwei Teile 

 mittels gegenseitig congruenter Sehnen-Sj^steme, die den Bögen 

 P^P^ resp. QiQ.2 eingeschrieben sind und weder die Grenzen noch 

 sich selbst durchkreuzen ; im zweiten Fall geschehe die Zerlegung 

 mittels den Bögen P[Pk resp. Q'iQ^ umschriebenen Tangenten- 

 Systemen von derselben Eigenschaft. 



Man wiederhole das Verfahren bei allen congruenten Bogen- 

 Paaren der beiden Begrenzungen. Da diese keine sich selbst 

 schneidenden Bestandteile enthalten, so wird man bei genügender 

 Anschliessung der Sehnen resp. Tangenten an die Curven immer 

 erreichen können, dass diese Linien -Stücke sich nirgends durch- 

 kreuzen. Die Flächen-Systeme A' und B' erscheinen demnach zer- 

 legt in eine endliche Anzahl von zwischen congruenten Bögen und 

 ihren Sehnen, resp. Tangenten, gelegenen Stücken einerseits und 

 zwei flächengleichen Polygonen-Systemen anderseits, deren gerad- 

 linige Begrenzungen sich nirgends schneiden. Da nun solche Poly- 

 gonen (Satz 4) endlich-gleich sind, so sind die Systeme A' und B', 

 daher auch die ihnen endlich-gleichen A und B endlich-gleich. 



6. Schneidet man aus zwei congruenten Flächen congruente 

 Stücke heraus, so sind die Reste endlich-gleich. (Tafel III, Fig. 8a, 

 86 und 8c.) 



Sei A^B und man schneide aus den Flächen A und B 

 congruente Teile Ai resp. Bi heraus, d. i. Ai^Bi (« = 1, 2, . . . 7i); 

 man bezeichne die Eeste mit S resp. T; dann ist S=^ T. 



Wenn nämlich die Grenzen der Stücke At und Bt mit denen 



