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Es seien A^B die gegebenen Flächen-Systeme, Äi,A^, . . . Ar 

 und B^, B^, . . . B,n Stücke von A resp, B. n. zw. 



U„A.„...Ai)^{B,,B,,...B,n); 



die nach Ausschnitt dieser Systeme von Stücken resultirenden 

 Beste S resp. T; dann hat man S=^T. 



Man zerlege die Systeme A und B in gegenseitig congruente 

 Stücke (Def. 1); die zerlegten Systeme mögen mit A' resp. jB' 

 bezeichnet iverden; die Voraussetzung A'^:B' kann durch gegen- 

 seitige Verschiebung der Stücke immer erfüllt werden, wir wollen 

 sie daher annehmen. Diese Zerlegung wird im Allgemeinen mit 

 sich bringen, dass dabei auch einzelne Stücke der auszuschneiden- 

 den Systeme ^j und £{ zerlegt werden; die Endlich-Gleichheit 

 der Systeme Ai und Bi bleibt jedoch bestehen. (Satz 1.) Man zer- 

 lege nun auch die so umgestalteten Systeme der Ai und Bi in 

 gegenseitig congruente Stücke Aj und BJ von der Anzahl n,. 

 wo also 



J}-^;; j=l, 2, ...77. 



Wir wollen voraussetzen, dass die Beste S'i—i und T^-i, wel- 

 che aus den Systemen A' und B' übrigbleiben, wenn man aus erste- 

 remdas System A'i , Ä^, . . . Äi-\, aus letzterem das System B[ , 

 -B2 , . . . B'i-i heraus schneidet, von der in 5. beschriebenen Eigen- 

 schaft sind. Dann folgt aus den in 6. angeführten Gründen, dass 

 diese Eigenschaft unverändert bleibt, wenn man aus S^-i das 

 Stück Ai und aus Ti^i das Stück B'i herausschneidet; wir haben 

 also (5.) auch S'i=^Ti. Wir sind daher berechtigt mittels Schlusses 

 von i auf ?4-l auszusprechen, dass die nach Entfernung sämmt- 

 licher^j und Bj (j=l, 2, . . .n) den Systemen A' und B' entsprin- 

 genden Bestsysteme S'n und Tn endlich-gleich sind. 



Nun ist S'n^S und ebenso Tn=T; aus der erwiesenen 

 Gleichung 6^= T'n folgt daher S^ T. 



1. CoroUar. Enthalten zwei endlich-gleiche Flächen-Systeme 

 sowohl gemeinsame als nicht gemeinsame Stücke, so sind die aus 

 der Gesammtheit letzterer gebildeten beiden Sijsteme endlich-gleich, 



2. CoroUar. Die gebräuchliche Definition endlichgleicher Flä- 

 chen deckt die BÖLYAi'sche vollständig. 



8. Die in 5. beschriebenen hinreichenden Bedingungen der 



