ENDLICH -GLEICHE FLACHEN. 



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Endlich- Gleichheit zweier Systeme sind zugleich notivendige Bedin- 

 gungen. 



Man entferne alle gegenseitig congnienten Bögen von glei- 

 chem Krümmungssinn nach dem in 5. beschriebenen Verfahren ; 

 die von den gegebenen endlich-gleichen Systemen A und B so 

 abgeschnittenen Systeme A' und B' sind einander endlich-gleich. 

 Man transponire ferner nach dem eben dort beschriebenen Verfah- 

 ren jene Bögen mit positivem Krümmungssinn, die auf demselben 

 System auch mit negativem Krümmungssinn vorkommen : die bei- 

 den Beste erscheinen dann in Systeme A" und B" transformirt^ 

 (Tafel III, Fig. 10a und lOfe) die an ihren Bändern weder gegen- 

 seitig congTuente Bögen mit gleichem Krümmungssinn, noch solche 

 enthalten, welche an den Grenzen desselben Systems sowohl mit 

 positivem als negativem Krümmungssinn vorkommen. 



J)Q> A^B und A'^B' ist, so folgt aus A^A' + A" und 

 B^B'+B" mit Hülfe des Satzes 7 die Gleichung A"^B". 



Wir wollen nun beweisen, dass die Bänder von A" und J5" 

 nur gerade Linien enthalten können. 



Denn gesetzt die Grenzen des Systems A" enthalten Kreis- 

 bögen von bestimmter Krümmung -{-g und von der Gesammtlänge 

 L. Wir denken uns die Flächen A" beliebig zerschnitten und zer- 

 legt ; dann können an den neuen Grenzlinien Kreisbögen von der- 

 selben Krümmung -\-g in der Gesammtlänge / auftreten, — es 

 müssen aber gleichzeitig auch Ki*eisbögen von der Krümmung — (i 

 auftreten in derselben Gesammtlänge l. 



Das System B" kann seiner Definition zufolge keine Kreis- 

 bögen von der Krümmung -\-g enthalten ; gesetzt, Kreisbögen von 

 der Krümmung —g kommen an den Grenzen in der Gesammtlänge 

 L' vor. Werden auch die Flächen des Systems B" zerschnitten und 

 zerlegt, so treten an den neuen Bändern Kreisbögen von der 

 Krümmung -\-g und —g gleichzeitig in der Gesammtlänge l' auf. 



Soll aber eine Zerlegung der Systeme A" und B" in gegen- 

 seitig congruente Stücke von endlicher Anzahl möglich sein, so 

 müssten die Gesammtlängen der an beiden Bändern vorkommen- 

 den Kreisbögen von der Krümmung +(/ (wie auch —g) endlich 

 und einander gleich sein ; mithin bestünden die simultanen Glei- 

 chungen : 



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