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MORITZ RETHY. 



Da die aus diesen fliessende Gleichung L-\-L' = zufolge 

 der Positivität von L und L' einen Innern Widerspruch enthält, 

 so ist die Hinfälligkeit der Annahme, dass A" oder B" Kreisbögen 

 enthält, erwiesen. 



Wir wollen nun voraussetzen, dass an den Grenzen von A" 

 ein Bogenstück P^P^ mit demselben Krümmungssinn /-mal vor- 

 kömmt; da PjPg kein Kreisbogen ist, so ist die Voraussetzung 

 gestattet, dass es keine congruenten Stücke enthält. Wird das Sy- 

 stem A" beliebig durch Querschnitte zerlegt, so müssen an den 

 neuen Eändern dem Bogen P^P<^ endlich-gleiche Teile z'-mal vor- 

 kommen mit demselben und eben so oft mit entgegengesetztem 

 Krümmungssinn, (wo i=0 nicht ausgeschlossen ist). Das zerlegte 

 System A" enthält daher die gesammten Teile von PjPg mit dem 

 ursprünglichen Krümmungssinn i+^-mal, mit dem entgegenge- 

 setzten i'-mal. 



Das System B" kann an seinen Rändern dem P^P^ endlich- 

 gleiche Teile nur von entgegengesetztem Krümmungssinn enthal- 

 ten ; die Anzahl solcher sei 1'. Dann enthält das durch Querschnitte 

 zerlegte System B" an seinen Grenzlinien dem PiP.2 endlich-gleiche 

 Teile von demselben Krümmungssinn z'-mal, und von entgegenge- 

 setztem P+^'-mal. Die Möglichkeit der Zerlegung der Systeme A" 

 und B" in congruente Stücke von endlicher Anzahl würde aber 

 vor Allem die Forderung stellen, dass sämmtliche genannten Bogen- 

 stücke der irgendwie zerlegten A" und B", — sowohl vom ur- 

 sprünglichen Krümmungssinn des P^P,^ als vom entgegengesetz- 

 ten — sich gegenseitig decken. Es müssten daher die simultanen 

 Gleichungen Bestand haben : 



I +i=i' 



Diese würden aber die Gleichung I-{-L' = nach sich ziehen, 

 welche infolge der Bedeutung von 1 und T einen innern Wider- 

 spruch enthält. 



Der Satz ist demnach bewiesen. 



Demnach kann z. B. eine Fläche, an deren Eändern nur 



