ENDLICH-GLEICHE FLÄCHEN. 181 



krumme Linien vorkommen von positiver oder nur negativer 

 Krümmung, auf keine Weise in eine endliche Anzahl von Stücken 

 zerlegt werden, die im Innern eines geradlinigen Polygons von 

 gleichem Flächeninhalt an einander gereiht werden können. Ein 

 Kreis- oder ein Parabel-Segment in specie ist nicht endlich-gleich 

 einem Quadrat. 



2. §. Der BÖLYAi'sche Beweis der in der Einleitung ausge- 

 sprochenen Sätze 2 und 3 beruht auf wiederholter Transposition 

 der gegebenen Flächen, die dabei starr gedacht werden. Gelingt 

 ein strenger Beweis auf dieser Grundlage, so haben die Sätze in 

 beliebigen ebenen Piäumen Giltigkeit. 



Zwei auf derselben Ebene gelegene Systeme sind congruent 

 in gleichem oder entgegengesetztem Sinn ; im ersten Fall liegt auf 

 ihrer Ebene ein Punkt 0, — der gegenseitige Drehungs-Mittel- 

 punkt der beiden Systeme, — um welche eine Drehung von der 

 Grösse w die beiden Systeme zur Deckung bringt, (der Punkt kann 

 im Specialfall im Unendlichen liegen, in welchem Fall statt Dre- 

 hung Parallel-Verschiebung zu setzen ist) ; im zweiten Fall liegt 

 auf ihrer Ebene eine Gerade, — die gegenseitige Drehungs-Axe der 

 beiden Systeme von der Eigenschaft, dass das eine System nach 

 einer Umlegung um dieser Axe und einer Parallel-Verschiebung in 

 ihrer Kichtung von bestimmter Grösse das zweite deckt. 



Wir werden sehn, dass die Zerlegung der nicht gemeinsa- 

 men Teile zweier congruenten Flächen nur dann nicht gelingt 

 mittels wiederholter Transposition derselben, wenn die gege- 

 benen Flächen im gleichen Sinn congruent sind und der gegen- 

 seitige Drehungsmittelpunkt in ihrem Innern liegt. Dieser Fall 

 wkd dann durch Umformung der Flächen mittels geeigneter Quer- 

 schnitte erledigt. 



BÖLYAi hat den Drehungsmittelpunkt und die Drehungs- 

 Axe ausser Acht gelassen ; dies ist der hauptsächlichste Grunde 

 weshalb seine Beweise den Forderungen der Strenge nicht genü- 

 gen konnten, 



1. Gegeben sind zwei gegenseitig sich teilweise deckende, im 

 gleichen Sinn congruente, einfach zusammenhängende Flächen^ 

 deren gegenseitiger Drehungsmittelpunkt nicht in ihrem Innern 

 liegt, und deren gemeinsamer Teil ebenfalls einfach zusammen- 



