ENDLICH-GLEICHE FLÄCHEN, 183 



■eine endliche Anzahl von Schnittpunkten darbieten, so entspringt 

 demzufolge aus der Construction eine endliche Anzahl von Flä- 

 chenstücken. 



Dass aber die gegebenen Flächen durch die gezogenen Linien 

 in der Tat in Stücke geteilt werden, folgt daraus, dass die Linien 

 «^ und b^ nicht in ihrem Innern, sondern an ihren Grenzen enden. 



Wird nämlich die Fläche K aus ihrer ursprünglichen Lage 

 um die Winkelgrösse ^ gedreht, so kommt ihr Eandstück a' auf 

 den Eand der Fläche ß zu liegen, während ihre Fläche vollstän- 

 dig im Innern des B bleibt ; die im Innern von B gezeichnete Li- 

 nie h" endet daher jedenfalls an der Grenze von B. Wenn aber 

 K aus der ursprünglichen Lage um die Winkelgrösse i<p gedreht 

 wird, wo l<i<?z + l, so liegt nur ein Teil von ihm ausserhalb B, 

 demzufolge die im Innern von B gezeichnete Linie 6^+^ allenfalls 

 am Band des B endet. Dasselbe gilt von den Linien a", a'", . . ., 



Ein beliebiges, durch die vorgenommene Zerstückelung ent- 

 standenes Stück der Fläche S sei Si ; man nehme im Innern von 

 Si einen Punkt M an, ziehe durch ihn einen Kreis mit dem Mit- 

 telpunkte 0; M', M", , BP, N seien Punkte des Kreises, 



die der Bedingung genügen 



+<p=MOM'=M'OM"= . . .-:il#-i OM^=]\PON, 



wobei k durch die Bedingung gegeben sei, dass ]\P der Letzte der 

 auf das Gebiet A fallenden Punkte sei. Es ist klar, dass dann M', 

 31", . . . M^ Punkte von K sind, während der Punkt A^ bereits in 

 das Innere von T fällt. Es ist ferner einleuchtend, dass keiner 

 dieser Punkte in eine der Linien a^' resp. ¥ fallen kann, weil jede 

 dieser Linien durch wiederholte Drehung um den Winkel (p um 

 den Punkt in irgend einen Band a resp. h gebracht werden 

 kann, wohin also auch der in ihr liegende Punkt M' gelangen 

 würde, was unmöglich ist, da ilf im Innern von Si und nicht am 

 Bande angenommen wurde. 



Wiederholen wir aber diese Construction in dem Falle, wo 31 

 auf einer der Grenzlinien von Si liegt, so werden auch die andern 

 Punkte M', 31", . . . ill^ A^ auf Grenzlinien a oder b fallen, je 

 nachdem 31 auf einer der Linien a oder b ancjenommen wurde. 



