ENDLICH-GLEICHE FLÄCHEN. 18'^ 



3. Gegeben sind zwei im gleichen Sinne congruente Flächen 

 oder Flächensysteme A und B, deren gemeinsame oder nicht ge- 

 meinsame Teile auch mehrfach zusammenhängend sein können, aus 

 deren gegenseitigen Drehungs- Mittelpunkte man aber ohne Durch- 

 querimg irgend einer der Flächen in das Unendliche gelangen kann 

 (auf dem durch l^ und 1^2 vorgezeichneten Wege), Die nicht gemein- 

 schaftlichen Teile sind m gegenseitig congruente Stücke zu teilen. 

 (Tafel V, Fig. 13.) 



Consiruction. Es sei (p der AVinkel, um welchen das System 

 Ä gedreht mit dem System B zur Deckung kommt, und es bestehe 

 der gemeinschaftliche Teil der beiden Systeme aus den einfach 

 zusammenhängenden einzelnen Stücken Ä^ , Ä^ , . . . iC? , . . . Km • 

 Wir drehen Ki {i— 1 , 2 , . . . m) um als Drehungsmittelpunkt 

 um (p, 2^, . . . n'icp und zeichnen nach jeder einzelnen Drehung 

 die Contour von Ki ganz oder nur teilweise auf die Flächen- 

 systeme A und B ab, je nachdem Ki ganz oder nur zum Teil in 

 diese Systeme gerät, mit der Einschränkung aber, dass die Con- 

 touren derjenigen Teile, die die Gerade l^ einmal bereits über- 

 schritten hatten, nicht mehr eingezeichnet werden, auch in dem 

 Falle nicht, wenn sie auf der andern Seite wieder in das Gebiet 

 von A, B gelangen sollten ; m ist dadurch characterisirt, dass das 

 um den Winkel (iii+l) (^ gedrehte Ki das erste sei, dessen Teile 

 nach der gegebenen Vorschrift weiter nicht einzuzeichnen sind. 



Ganz so sei das Verfahren bei der Drehung von Ki um 

 — (p, — 2^, . . . — ni(p aus seiner anfänglichen Lage ; wobei n'j wie- 

 der durch die Forderung definirt sei, dass das um — (;ni-]-i)(p 

 gedi'ehte Ki keine einzuzeichnenden Teile habe. 



Durch die eingezeichneten Linien ist aber die Aufgabe tat- 

 sächlich gelöst. 



Beiveis. Genau dieselben Gründe, wie bei der 1. Aufgabe, 

 berechtigen uns auch hier zu der Folgerung, dass sowohl die End- 

 lichkeit der Anzahl der Schritte, als auch die der Anzahl der resul- 

 tirenden Stücke gesichert ist. 



Dass aber durch die gezogenen Linien die Systeme A und B 

 tatsächlich aufgeteilt werden, ist auch hier einleuchtend. Ki wird 

 nämlich in seinen verschiedenen Lagen entweder ganz, oder nur 

 zum Teil in die Systeme A , B zu liegen kommen ; im ersten 



