186 MORITZ RETHY, 



Falle gibt die vorgeschriebene Abbildung Stücke, die congruent 

 Ki sind ; im zweiten Falle entstehen ein- oder mehrere Stücke die 

 congruent sind mit demjenigen Teile resj). Teilen von Ki , die in 

 die Gebiete A und B fallen. Da wir demnach bei der Drehung 

 jedes einzelnen Ki stets Stücke erhalten (mit geschlossenen Con- 

 touren), so werden die verschiedenen Systeme der so eingezeich- 

 neten Linien, selbst wenn sie sich auch durchkreuzen, die Flächen 

 A und B immer in Stücke zerteilen, deren Anzahl eine endliche 

 ist, da die Durchkreuzungspunkte nach der ein- für allemal ge- 

 machten Voraussetzung, dass die Begrenzungen derbeiden Systeme 

 bei jeder Lage eine endliche Anzahl von Schnittpunkten darbie- 

 ten, nur in endlicher Anzahl vorhanden sein können. 



Wir nennen diejenigen Teile von A , die auch Teile von B 

 sind, gebundene Teile von A ; von den Teilen von A , die nicht 

 zugleich Teile von B sind, soll hingegen als von den freien Teilen 

 von A die Eede sein. Wir bezeichnen ferner ein durch die durch- 

 geführte Construction erzieltes Stück des freien Teiles, in welchem 

 keine teilenden Linien vorkommen, mit Sjij=^l, 2, . . . s); Stücke 

 des freien Teiles von B, die die analoge Eigenschaft haben, mit 

 Tj{j=^l,%...t), _ 



Es ist zu beweisen, dass s=t und nach gewissen Bestimmun- 

 gen und Anordnungen Sj=Tj stattfindet (; = 1, 2, . . . s). 



Wir nehmen im Innern von Sj einen Punkt M an, legen 

 durch denselben einen Kreis mit dem Mittelpunkt und bezeich- 

 nen mit M, M", . . . M^ die Punkte auf dem Kreise, deren Win- 

 kelentfernung von M gleich ^, 2^, . . . n<p ist (ebenso wie im Be- 

 weise zur ersten Aufgabe). 



Der Punkt M wird dann unbedingt schon in die Fläche B 

 fallen, da die Fläche A bei einer Drehung gleich f die Fläche B deckt 

 und daher ein innerer Punkt von A (M) einen Innern Punkt von B 

 (M) decken muss. Dieser M' Punkt kann auf keiner der durch 

 die Construction gewonnenen Teilungslinien liegen, da sonst bei 

 einer Drehung gleich — (p diese Teilungslinie durch M gehen 

 müsste, was mit der Voraussetzung im Widerspruche steht, nach 

 welcher im Innern von Sj keine Teilungslinie vorkomme. Bezüg- 

 lich der Lage von M' sind zwei Fälle möglich : M' liegt entweder 

 auf einem freien Stücke von B (Tj), oder auf einem gebundenen 



