ENDLICH-GLEICHE FLÄCHEN. 187 



Stücke von B (Kj) ; wir behaupten, dass im ersten Falle Sj^^Tj , 

 im zweiten Falle Sj^Kj ist. 



Bei einer Drehung gleich (p wird nämlich jeder innere Punkt 

 M von Sj in das Innere von Tj resp. Kj gelangen, und umgekehrt 

 wird bei einer Drehung um — (p jeder innere Punkt der Letzteren 

 einen Innern Punkt von Sj decken. Setzen wir bezüghch der Lage 

 von M' den zweiten Fall voraus, so sei in der Eeihe der Punkte 

 M, M", . . . , ikZ" der Punkt M'^ der Letzte, welcher noch auf dem 

 gebundenen Stücke Kj liegt, so dass M''"'"^ der erste Punkt ist, 

 der auf das freie Stück Tj gelangt. Dann ist aber offenbar 



Sj^Kj^Kj'^ . . . ^Kj^Tj. 



Betrachten wir nämlich 



Sj, Kj, Kj, . . . Kj 



als Bestandteile von A und drehen wir das System um den Win- 

 kel <p , so werden der Annahme resjD. der Construction zufolge 

 A und B mitsammt allen auf ihnen gezeichneten Linien sich 

 gegenseitig decken. 



Die Punkte M, M , M", . . . M'* der Fläche A werden aber 

 dann auf die Punkte M, M", M", . . . M'+^ von B zu liegen 

 kommen; es werden also die Stücke Sj , K] , Kj, . . Kj^^, Kj 

 der Fläche A, die Stücke von B 



Kj, Kj, Kj", . . . , • Kj, Tj 



decken, wobei im Sinne der Construction Tj bereits ein freies 

 Stück von B ist. Damit ist aber die Eichtigkeit der Construction 

 bewiesen, denn sowie zu jedem Sj nach dem eben Bewiesenen ein 

 ihm congruentes Stück Tj und nur eiii solches gehört, so gehört um- 

 gekehrt zu jedem Stücke 2}^ ein und nur ein Stück Sj^ das ihm 

 congruent ist ; man hat nur an Stelle der positiven Drehungen 

 solche um Vielfache von — ^ vorzunehmen. Die Anzahl der 

 Stücke Sj ist also gleich der der Stücke Tj . 



4. Gegeben sind die im gleichen Sinn congruenten Flächen 

 A und B, aus deren gegenseitigen Drehungsmittelpunkt man 

 nicht ins Unendliche gelangen kann, ohne A oder B zu durch- 

 queren. Ihre nicht gemeinsamen Flächenteile S und T sind in 

 gegenseitig congruente Stücke zu teilen. (Tafel V, Fig. 14.) 



