ENDLICH-GLEICHE FLACHEN. 



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jedes lim Sfj verschoben ist, verglichen mit der Lage des unmittel- 

 bar folgenden Linienstückes. 



Daraus folgt aber, dass die Anzahl der Glieder dieser Eeihen 

 endlich sein muss, da ja die Linien a , a' oder h , h' bei wieder- 

 holter Anwendung der Parallelverschiebung um 2^j nach einer 

 endlichen Anzahl von Schritten A resj), B verlassen müssen. 



Die Linien a und h decken sich sowohl in der ursprüng- 

 lichen als in der Deckungslage der Figuren A und B. Es seien 



^^ji' 4/2' ^'^.J3' • • • -^Jn 



Bj,, Bj,, Bj^, . . . Bj^^ 



die gesammten auf dem Teile K von A resp. B liegenden Figuren, 

 die die Eigenschaft haben, dass jedes Aj. in der ursprünglichen 

 gegenseitigen Lage mit Bj^ und in der Deckungslage mit Bj.^ 

 zusammenfällt. 



Die Glieder dieser Eeihen können nur eine endliche Anzahl 

 haben, da jedes bestimmte Stück der Fläche K in der Keihe nur 

 einmal vorkommen kann, die Anzahl der Stücke aber eine end- 

 liche ist. 



Da nun in der Deckungslage 



-^j, = Bj, , 4-, ^Bj^, . . . , Aj^^_=Bj^^ 



so müssen die frei gewordenen Figuren _By. und Bj Stücke Sj 

 resp. Tj der nicht gemeinschaftlichen Flächen von A und B 

 decken. Es bestehen demzufolge die Gleichungen 



Sj^Bj^^Aj^^Bj^^ • • • =Bj^^Tj. 



Zu jedem Sj gehört also ein und nur ein ihm congruentes 

 Stück der Fläche T und umgekehrt. 



7. Schneidet man aus zwei congruenten Flächen A und B zwei 

 gegenseitig congruente Stücke heraus, so sind die Beste gegenseitig 

 endlich-gleich. 



Dieser Satz ist ein Specialfall des unter Punkt 6 des 1. § 

 Bewiesenen. Die Aufteilung der Eeste in gegenseitig congi'uente 

 Stücke bewerkstelligt Bölyai durch Transpositionen d. h. er führt 

 dieselbe zurück auf die Aufteilung der nicht gemeinschaftlichen 

 Teile zweier congruenter Flächen u. zw. wie folgt: 



1.3* 



