200 NIKOLAUS V. SZÜTS. 



1. 



Das Schema einer cubischen Determinante n-ten Grades ent- 

 hält n^ Elemente und die Anzahl der Glieder ist {n \f. Die Ele- 

 mente sind in Gestalt eines Würfels in ?i-Horizontalebenen und in 

 ?i- Vertikal- und ;2-Seitenebenen angeordnet ; damit der Platz eines 

 beliebigen Elements aiki in dem Schema vollständig bestimmt sei, 

 setzen wir fest : dass der erste Zeiger die Horizontalebene, der 

 zweite die Vertikalebene und der dritte die Seitenebene bezeich- 

 net, welchen dieses Element gleichzeitig angehört. Die Elemente : 

 «111 . . . ünnri bilden die Hauptdiagonalreihe der cubischen Deter- 

 minante. 



Bezeichnet man mit Z|f und 3fc^ die Anzahl der verschwin- 

 denden bzw. der nicht verschwindenden Glieder — also die Glieder- 

 zahl — einer cubischen Determinante ??-ten Grades : Dk^ (rtjij . . . 

 annn) ^lit k <n transversalen Nullelementen, so bedeuten die Sym- 

 bole Zo"^ und 3o"' c^ie Anzahl der ersteren bzw. der letzteren Glie- 

 der dieser Determinante ohne Nullelemente. 



Es bestehen dann die Gleichungen : 



zr=o (1)^ 



Z^+^'-lnlT (3) 



giltig für k=^0,l . . . n. 



Um die Untersuchung übersichtlicher zu gestalten, betrach- 

 ten wir die cubische Determinante ?z-ten Grades : Dk = (^m • • • 

 hnnn), deren Schema aus demjenigen von Dk^^ durch Vertauschung 

 paralleler Ebenen so gebildet ist, dass seine k ersten Hauptdiago- 

 nalelemente die k transversalen Nullelemente sind, mithin seine 

 (71 — k) letzten Horizontal-, Vertical- und Seitenebenen kein Null- 

 element enthalten ; dann besitzen D^ und D/,"' die gleiche Anzahl 

 von Gliedern. Entwickelt man Dl"' nach den Elementen einer 

 Ebene, deren in der Hauptdiagonale des Würfelschemas liegendes' 

 Element den W^ert Null hat, z. B. nach den Elementen der k-ien 

 Horizontalebene, so ist : 



