ZUR THEORIE DER CUBISCHEN DETERMINANTEN. 20 t 

 i=n l—n 



D/f =11' bkii • Bkii , 



i=l 1=1 



Avobei allgemein Bk.ry c^en Coefficienten des Elements hk.v>j der 

 Ä--ten Horizontalebene bezeichnet. Der Coefficient Btry ist eine 

 cubische Determinante (n — l)-ten Grades, deren Schema entstand 

 aus demjenigen von D/f' durch die Auslassung der k-ten Horizon- 

 talebene, der .T-ten Vertical- und der y-ten Seitenebene. Durch die 

 Feststellung der Anzahl der Glieder der Coefficienten B, wird auch 

 die Gliederzahl 3fc"^ von Dk^^ bestimmt. Zu dem Zwecke schreiben 

 wir Dfc ' in folgender Form : 



DJf = '> '\'y' hkü . Bm + hku • Buu + I hn • Bui+huk • Buk 



i = l ■- / = 1 l=i + l 



l=n 



+ -T bkii.Bkiil 



l=k + l -1 



l=k-i 1^=71 



+ 1' bkki- Bkki+hkkk-Bkkk+ 1' bkki-Bkki 



1=1 l=k+l 



i=n r-l=k-l 1=1 



1' I bkii ' Bkü+bkik • Bkik+ -S" l 



i=k+l L 1=1 l=k+l 



Füi-i<k — 1 und 1=1,^ ... n entsteht das Schema von 

 Bkii f^^^s demjenigen von D/f^ durch die Auslassung der Ä;-ten Ho- 

 rizontalebene, der {i<]c — l)-ten Vertikalebene also einer der 

 ik — 1 ) ersten Vertikalebenen und einer der n Seitenebenen ; in der 

 Ä;-ten Horizontalebene, in jeder der hier in Betracht kommenden 

 Vertikalebenen und in jeder der k ersten Seitenebenen befindet 

 sich ein Nullelement, während die (n — k) letzten Seitenebenen 

 kein Nullelement enthalten; dabei haben für /=z die i-te Vertikal- 

 ebene und die ^-te Seitenebene, für l=^k die k-ie Horizontalebene 

 und die k-te Seitenebene ein Nullelement gemeinsam. Bkn besitzt 

 also für /= 1, ^ . . . (z— 1) und l=ii+ 1) . . . (k—l) : {k—?j) Null- 

 elemente und daher ^fsi^ Glieder, für l^i, l=k und l{k-\-l) . . .n 

 aber {k — 2) Nullelemente und somit 3K'- Glieder. Die Anzahl der 

 Glieder der in den Klammern der ersten Zeile stehenden Summan- 

 den ist also der Eeihe nach durch die Ausdrücke gegeben : 



