ZUR THEORIE DER CUBISCHEN DETERMINANTEN. ^^5 



U + 1) 0-) _Q('i + '^-l' oUl + i.-^) 



■ 'q-i -'q-X •^q-\ •ör/-l 



der ersten Differenzreihe von der für r=q — 1 entstehenden Reihe 

 jR^-i durch den Ausdruck : 31/^''"^' dargestellt wird, daher mit 

 dem allgemeinen Gliede : 



der für r=q erhaltenen Reihe Bq identisch ist, woraus folgt: dass 

 die Reihe R,y die erste Differenzenreihe der Reihe ii^-i ist, mithin 

 R(^ die {q — l)-te Differenzenreihe der für ?'=1 erhaltenen Reihe jRj 

 bildet. Man erkennt ferner, dass die Reihe R^ die erste Differenzen- 

 reihe der für r=0 hervorgehenden Reihe Bq darstellt, so dass die 

 Reihe Bq die ^-te Differenzenreihe der Reihe Bq ist; man hat also 

 den Satz : 



Die aus ihrem allgemeinen Gliede : 3*^"^''"^' fi^'^' ^^ — ^^ ^ . .. 

 (w + v) . . . hervorgehende Beihe : 3f , 3Jf +i'. . . 3^^"'- 3l"+'''-v deren 

 aufeinanderfolgende Glieder die Gliederzahlen der cubischen Deter- 

 minanten von der k-ien bis zur n-ten . .. Ordnung mit je k trans- 

 versalen Nidlclementen bedeuten, bildet die k-te Differenzreihe von 

 der Beihe : (0 1)^, (1 1)^, (2 \)^, . ..(nl)^ ... , welche aus ihrem allgemei- 

 nen Gliede: 31^-^-1'= [{?. — l)!]^ für / = l,2...w erhalten ivird ; 

 wobei3[0) =3 (0!)2 = 1. 



Es folgt ferner : 



Die Gliederzahl ^^j^'^'" einer cubisclwi Determinante (k-\-x)- 

 ten Grades mit k transversalen Nidlelementen ist das {x-^l)-ie 

 Glied der k-ten Differenzreihe von der Beihe : (0 !)^, (1 !)^, (2 l)^, . . . 

 (71 !)^ . . ., ivelche aus ihrem allgemeinen Gliede : 3o^^^' — K^- — l)'-i^ 

 für ?.= lß .. .n erhalten ivird. 



Mit Hülfe dieser Sätze kann man noch verschiedene For- 

 meln für die Grösse 3/-*' ableiten, insbesondere kann dieselbe in 

 independenter Form dargestellt werden. 



In der Theorie der Differenzenreihen erhält man für eine aus 

 (n + 1) Gliedern bestehende Hauptreihe die folgenden Gleichungen : 



I- D,q,= ^IJ-if.{k-p)^.D^g,^ 



A — p— r' 



iltig für 



