ZUR THEORIE DER CUBISCHEN DETERMINANTEN. -^ I 



Bezeichnet man mit H^j['^ und H^^^ die Anzahl der Glieder 

 einer cubischen Determinante n-ten Grades, welche Elemente eines 

 gegebenen Systems k <n transversaler Elemente als Faktor enthal- 

 ten, bzw. nicht enthalten, so bestehen die Gleichungen : 



^^'+^^o'=("0^ (39) 



Hr=ZP; (41) 



giltig für k=0, 1 . . . n; die Annahme k=0, ist in dem Sinne zu 

 definiren, dass, wenn alle Elemente der gegebenen Systeme den 

 Wert Null haben, die Symbole iZg> und 3},«) bzw. H^^^ und Z|,"> 

 dieselbe Bedeutung haben. 



In Folge der Gleichungen (40) und (41) haben alle für 3*7"* 

 entwickelten Formeln auch für üZj,'^^ , und die für ZJ^"* auch für 

 H'f^^^ Giltigkeit. Die independente Form von i?<^«' wird durch die 

 Gleichung (12) und diejenige von //jj*' durch die Gleichung (26) 

 gegeben. 



Für k=n findet auch die Aufgabe ihre Lösung, die Anzahl 

 der Glieder einer cubischen Determinante ??-ten Grades mit Dia- 

 gonalelementen und ohne Diagonalelemente zu bestimmen ; die 

 independente Form der ersteren ist durch die Gleichung (36), die 

 der letzteren durch die Gleichungen (20) und (20 a) gegeben. 



Ersetzt man in dem Coefficienten C des Productes TTfj von 

 f) < k bestimmten Elementen des gegebenen Ä;-gliedrigen Ele- 

 mentensystems, die in 7t,j nicht enthaltenen {k — p) Elemente des 

 Systems durch Nullen, und bezeichnet den so entstehenden Aus- 

 druck durch Cq, so enthält der Ausdruck : t:,^, . Cq nur diejenigen 

 Glieder der gegebenen cubischen Determinante n-ten Grades, 

 welche ausschliesslich die p bestimmten Elemente als Faktor be- 

 sitzen, somit ist die Anzahl hfl dieser Glieder gleich der Glieder- 

 zahl des Ausdrucks : Cq, welcher in Folge seiner Entstehungsweise 

 eine cubische Determinante {n — p)'ien Grades mit (ä; — p) transver- 

 salen Nullelementen bildet, mithin 3/fr; '-Glieder besitzt; also ist: 



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