ZUR THEORIE DER CUBISCHEN DETERMINANTEN. 



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Es bedeute £== + 1 und x eine positive ganze Zahl, deren 

 Wertgebiet später bestimmt wird. 



Man setze : q=^n-\-zx, z=p-\--x, p~k-\'sx, so erhält man 

 aus den Gleichungen {Q) und (42) : 



giltig : bei £= — 1 für ^'=/ . . . n, ^o=0, i . . . h und x—0, i . . . pi 



bei £= + 1 für ä;=1, ...??, ,o=0,l . . . fc und für x 

 bei jeder positiven ganzen Zahl, d. h. für a;=l,2 . . . ?z . . .(7z+v) . . . 

 Wenn ein Q einerseits : C[=^n, p = k und 7r=p — ex, ander- 

 seits : q — n-\-sx, p = k-\-ax, ;r = p gesetzt wird, so erhält man : 



%•, (.;-f.r)— "(fc + fn^. — ^fc+f,r-^. ' ''^^^ 



giltig : 



bei £= +1 für k=l, 2 . . . ?? ; p=0, 1 . . . /<; und a;=0,l . . .^o 

 bei £= — 1 für k=l,^2 . . . n, und für solche positive ganze 



Werte von p und x, welche der Gleichung : p-\-x<k genügen. 

 Für k=n erhält man aus den Gleichungen (49) und 50) : 



'V Q ~ (n + sx), {(j +ex) — <Jn -(j ^^ ^ ^ 



Un) __ j(n+ex) __ Q{n+fx-<i) /r^^ 



V isj-sx) in+sx), i) 'Qn+ex-(j ^ -^ 



deren Giltigkeitsgebiete aus denjenigen der Gleichungen (49) und 

 (50) für k^=n erhalten werden. 



Schreibt man : in (17) 7i+l — p für n, in (49) n-\-l für n und 

 n für k, in (51) ?i+l für n, und bezeichnet die so erhaltenen Glei- 

 chungen der Eeihe nach durch (Qg), (Qn) ^^i^^ (^4)» substituirt dann 

 (Q3), (Q4) und (51) in (Q-2), so erhält man die Gleichung : 



7(« + l+f.T) , 7(n+f.T) _7(tt+H-f.r) -rov 



'«'(TH-H-f.T), {<j + fx)~r i'in-\ex), (<j + f.r) — 'kn + 5.r), (q-\-sx) i V*^? 



giltig : 



bei £= — 1 für/>=0,l . . . n und .'^=0,1 . . . p, 



bei £=+1 für /?=0, 1 . . . n und a;=0,l . . . ^o ... (r?+v). 



Für rc=0 folgt aus der letzten Gleichung : 



/iVi:',+c-/^s;'\ (54) 



giltig für ^ = 0,1 ... TZ. 



