LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 15 



rectas que Euclides llama paralelas, se cortan á la distancia -» del 



punto medio de la trasversal EF. 



En efecto (fig. 27), sea O el punto medio de la trasversal EF. 

 Desde M bajemos las perpendiculares OM y ON ó AB y CD respecti- 

 vamente; los triángulos rectángulos EOM y FON, tendrán la hipo- 

 tenusa igual, y siendo los ángulos OEM y OFM iguales por hipóte- 

 sis, resulta que dichos triángulos son iguales, y que también lo son, 

 pues, los ángulos EOM y FON ; es decir, que MON es una línea rec- 

 ta, perpendicular á la vez á ambas rectas AB y CO; estas rectas se 

 cortan, por consiguiente, pues en los polos Pj y ?. de MN, cuyas 



distancias al punto medio, O, de la trasversal, es ^• 



Definición eoc acta de las paralelas. — Varo, si se llama paralela 

 por un punto A á una recta b, la recta p trazada por A, que corta b 

 á una distancia infinitamente grande de k, es claro que si la recta 

 no es cerrada, ella tendrá dos puntos Mi y Mo infinitamente distan- 

 tes de uno cualquiera de sus puntos situados en la parte finita del 

 plano, y las rectas AMi ó pu J AMg ó jOo, serán ambas paralelas á b ; 

 ellas se acercarán asintóticamente á 6, y la parte finita de b, sea 

 MiMo, se encontrará comprendida enteramente entre ambos lados 

 del ángulo MjAMo ; toda recta trazada por el punto A en el ángulo 

 M1AM2 cortará b, mientras que al contrario, si AMi' es la prolonga- 

 ción más allá de A de MiA, las rectas trazadas en el ángulo MoAMi ', 

 no cortarán la recta b en ningún punto real. 



Si, al contrario, la recta es una línea cerrada, sean Pi j^P2 sus po- 

 los ; la recta APiP, es la normal trazada desde A á 6, y uno de los po- 

 los, P, por ejemplo, se encontrará del mismo lado que A, i;especti- 

 vamente á la recta b. Entonces, A está situado en el interior del cír- 

 culo de centro Pi y de radio ^> que es la misma recta b, y toda rec- 

 ta trazada por A tiene que cortar á la recta B en un punto C (y en 

 su conjugado C '), es decir, que : si la recta es cerrada no se le pue- 

 de trazar ninguna paralela real. 



Como caso límite entre los dos anteriores se presenta el de la 

 recta cerrada en el infinito; los dos puntos Mj y M, se unen en 

 uno solo ; las dos paralelas pi y p^ se superponen, y hay una pa- 

 ralela, y una sola, del punto A á la recta 6; el ángulo MgAMj ' se re- 



