14 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



decir, mientras BE < -• Pero si BE fuera mayor que ¿» el punto 



F vendría á colocarse por ejemplo en Fj, fuera del segmento BEB', 

 y es evidente que entonces la recta FjC está fuetea del ángulo ACD, 

 y que el ángulo BAC = FjCA > B'CA = DCA. Es decir que : si la 

 recta es una línea cerrada, el ángulo exterior á un triángulo 

 puede ser menor que cualquiera de los dos ángulos no adyacentes 

 de este triángulo. 



Cuando la mediana AE es mayor que |» el ángulo B del trian- 



guio, es mayor que el ángulo anterior en C, y recíprocamente. 



Exactamente se produce lo propio en 1^ esfera, y debe también 

 suceder en el plano, si este es una esfera límite, cuyo radio es la 



distancia EF = EB = J:* 



De esto deducimos en consecuencia, que la demostración de Eu- 

 clides de las proposiciones XVII, XIX, XXVI y siguientes *, se puede 

 admitir como general solo en el caso de que una dimensión del 

 triángulo no sea infinita, ó que la línea recta no sea cerrada. 



¿Existen rectas paralelas? — Asimismo, no es exacta en absoluto 

 su demostración de la existencia de las paralelas (proposiciones 

 XXVII y XXVIII). 



Euclides dice en su proposición XXVII: 



« Si una trasversal EF (fig. 26) forma con las rectas AB y CD án- 

 gulos alternos internos iguales, estas rectas son paralelas ». Lo de- 

 muestra basándose en que si no fuera así, se cortarían en un pun- 

 to G, y se tendría que el ángulo BEF, exterior al triángulo EGF 

 sería igual al EFG interior á este triángulo y no adyacente al ante- 

 rior. 



De suerte que su teoría resulta exacta solo en el caso de que la 

 recta no sea linea cerrada. 



Si la recta es cerrada en el infinito el teorema no es exacto, en 

 el sentido que le daba Euclides, porque en este caso pueden ser igua- 

 les los ángulos citados cuando G esté en el infinito; entonces las 

 paralelas de Euclides se cortan, pero en el infinito. 



Y finalmente, en el caso de cerrarse la recta á distancia finita, las 



* Se trata aquí únicamente del Libro I de Euclides. 



