LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 13 



deje de obedecer á esta ley tan notable; ellas desempeñan un papel 

 predominante en toda la geometría moderna, tanto en la gráfica 

 como en la analítica. 



En la superficie de la esfera rigen perfectamente estas leyes, y 

 debe ser así, pues las hemos deducido para el plano suponiendo 

 precisamente que este fuera una esfera de cierto diámetro %, igual 

 á la mayor distancia posible. 



La idea del espacio elíptico, es decir, limitado por una esfera, ó 

 sea la idea de que la recta puede ser cerrada, se debe á B. Riemann *. 

 Ella responde no solo á muy elevadas concepciones filosóficas, 

 sino que, como acabamos de verlo, ella echa una luz muy viva so- 

 bre la razón de todas las cuestiones geométricas ligadas con la 

 ley de la dualidad, y facilita sobre manera su comprensión ver- 

 dadera. 



La idea misma de que la recta no es cerrada, que nos parece in- 

 herente á su naturaleza, no es lógicamente forzosa ni quizá tan 

 natural como parece á primera vista. 



Seguramente que si la tierra no fuera una esfera tan grande 

 con relación á las dimensiones del hombre, esta idea preconce- 

 bida de la posibilidad de prolongar un camino recto hasta el infi- 

 nito, nunca habría sido considerada como cosa natural, sino que 

 habría parecido tan estraña como les pareció á nuestros antepa- 

 sados la redondez de aquella, y que existieran seres que viven con 

 la cabeza abajo y los pies arriba con relación á nosotros, y que 

 siguiendo siempre adelante un hombre pudiera volver al punto 

 de partida, habiéndose dado vuelta ese hombre para un observa- 

 dor situado en el punto de partida, sin haber girado de derecha á 

 izquierda ni de izquierda á derecha. 



Caso en que falla la proposición XVI de Euclides. — Y o]vamos 

 ahora á la proposición XVI de Euclides. La demostración que hi- 

 cimos se basa esclusiva mente en que la recta CF (fig. 15 y 16) se 

 encuentra en el interior del ángulo ACD, es decir, entre CA y CD. 

 Pues bien : las tres rectas BA, BE y BC (fig. 25) concurren todas al 

 polo B' conjugado de B, y la recta FC es interior al ángulo 

 ACD = ACB', mientras el punto F se encuentre entre EyB', es 



* Véase B. Riemann, Memoire posthume sur les hypothéses qui servent de fon- 

 dement a la Geométrie publicado por R. Dedekind, en alemán, en el tomo XIII 

 de las memorias de la Sociedad real de Goettingen, 1867, y vertido al francés por 

 J. HoÜEL en los Annali di Matemática, tomo III, sección II, Milano 1869-70. 



