LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 7 



gar geométrico; su plano polar describirá otro lugar geométrico, 

 y la distancia entre dos puntos de una figura será igual al ángulo 

 de los dos planos polares de la otra, y reciprocamente; si el punto 

 describe una recta, el plano polar envuelve á la recta polar de 

 aquella, y la distancia entre dos rectas, sean ellas punteadas ó 

 planeadas, es igual á la de sus polares. 



Dos figuras ligadas por esta correspondencia geométrica, se lla- 

 man POLARES RECÍPROCAS absolutas una de otra. Los elementos y 

 íormas de la una son conjugados ó polares absolutos de los de la 

 otra ; la distancia entre un elemento y su conjugado es constante é 



igual á - ? la distancia entre dos elementos es igual á la de sus con- 



jugados. La distancia de un elemento al conjugado de otro, es el 

 COMPLEMENTO de la distancia de los dos elementos. 



De las propiedades de una figura se deducen las de su polar re- 

 cíproca absoluta, cambiando la palabra punto por plano, recta 

 punteada por recta planeada, y recíprocamente; la unión de dos 

 puntos, por la intersección de dos planos ; el plano común á un 

 punto y una recta por el punto común á un plano y una recta. 



En lo siguiente van las trasformaciones de las formas geomé- 

 tricas principales, swper^aes y cwrüas, por polares recíprocas ; la 

 simple lectura de las proposiciones enunciadas basta para hacer 

 comprender su verdad^ y sería fácil estender este método á las de- 

 más formas, lo que nos conduciría á las mismas deducciones que 

 obtuvimos al principio de este estudio. 



Una superficie cualquiera eu el es- 

 pacio puede considerarse como for- 

 mada por varias posiciones sucesivas 

 de un punto nnovible : tres posiciones 

 muy próximas del punto movible, 

 que no se encuentren en la misma 

 recta, determinan tm plano, que es 

 el plano tangente á la superficie 

 considerada y que es Biplano común 

 de estos tres puntos. 



Una curva cualquiera en el espacio 

 puede considerarse como descrita por 

 un punto movible ; dos posiciones su- 

 cesivas del punto determinan una tan- 

 gente á la curva que es la recta de 

 unión de estos dos puntos ; tres pun~ 

 fos sucesivos determinan un plano 



Una superficie cualquiera en el es- 

 pacio puede considerarse como en- 

 vuelta por varias posiciones sucesivas 

 de un plano movible: tres posiciones 

 muy próximas del plano movible, y 

 que no pasen por la misma recta de- 

 terminan un punto, que es el punto 

 de contacto en la superficie conside- 

 rada y que es el punto común á estos 

 íí'es planos. 



Una superficie desarroUable cual- 

 quiera en el espacio puede conside- 

 rarse como descrita por un plano 

 movible ; dos posiciones sucesivas 

 del plano determinan una tangente de 

 la desarroUable, que es la recta de in- 

 tersección de estos dos planos ; tres 



