H2 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



indefinidamente, se cortarán del lado que forman los dos ángulos 

 cuya suma es menor que dos rectos. » 



Forma de la recia á que corresponde el axioma XI. — Ya hemos 

 visto al estudiar la proposición XVI que esto equivale á admitir 

 que la recta se cierra en el infinito (1). 



Partiendo de su axioma XI, Euclides demuestra que la suma de 

 los tres ángulos de un triángulo (proposición XXXII) es igual á dos 

 rectos. Esta propiedad depende, pues, directamente del postulado, 

 y vamos á ver que también se puede deducir directamente de la 

 hipótesis de que la línea recta sea cerrada en el infinito ó, lo que 

 es lo mismo, de que el plano sea efectivamente una esfera de radio 

 infinitamente grande; en seguida, se podrá deducir de aquella pro- 

 piedad la demostración del postulado. 



Consideremos un triángulo ABC de dimensiones finitas (fig. 28) 

 sobre una esfera infinitamente grande, y hagamos pasar por el centro 

 de la esfera los planos OAB, OBC y 0C4; estos cortan la superficie 

 en tres círculos máximos B'B", C'C" y A 'A". Si un plano coincide 

 con una esfera de radio infinitamente grande, un arco de círculo 

 máximo es la intersección de dos planos, ó sea una recta. 



Podemos suponer siempre que el triángulo ABC, infinitamente 

 pequeño con relación á las dimensiones de la esfera, sea el polo de 

 de un círculo máximo que cortará á los anteriores en los puntos A', 

 B', C y A", B", C" ; siendo infinitamente pequeño con relación á 

 ese círculo el triángulo considerado, sus tres vértices se confunden 

 con el centro de aquel círculo máximo, y se ve inmediatamente que 

 la suma de todos los ángulos A + B + C será igual á la suma de 

 los ángulos CAR' y R'AC, que hace una recta cualquiera AR' 

 con BC prolongada, es decir, igual á dos ángulos rectos. 



Si se admite que la esfera infinitamente grande se confunde con 

 un plano, se debe admitir también que una esfera de centro Oi si- 

 tuada debajo del plano tangente PA (fig. 29) y otra de centro O2 

 situada arriba del mismo, se confunden en el límite con dicho pla- 

 no, es decir coinciden ; por consiguiente, dos esferas cuyos centros 

 se encuentran á la distancia + cx= de un plano sobre una misma 

 normal á este plano, se confunden entre sí y con él; es precisamen- 

 te el mismo caso que encontramos en el capítulo IV al tratar de la 



(1) Véase Proposición XVI de Euclides, segundo caso, y comparte también con 

 Definición exacta de las paralelas, en el capítulo IV anterior. 



