LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 143 



recta cerrada, — solo quedamos aquí al cuadrante 5 un valor in- 



finitamente grande. Como al tratar de la recta cerrada, podría 



probarse que para r = ^ = ^ , los puntos Pj y Po se confunden (I \ 



es decir, que la recta se cierra en el infinito, á una distancia t: = 00 

 del punto P (compárese con las fig. 20 y 22). 



Todo plañóse compone de una parte situada en la región finita 

 del espacio, y del plano del infinito que se encuentra infinitamente 

 lejos de todo punto del espacio. Todos los planos polares de los 

 puntos del espacio se unen en el plano del infinito, que contiene 

 todas las polares recíprocas de las rectas del espacio. A todo plano 

 del espacio corresponde un polo que es la dirección de su normal, 

 y recíprocamente. En una palabra, todas las propiedades de la po- 

 laridad subsisten, salvo modificaciones evidentes, y su aplicación 

 constante forma precisamente lo que, en geometría moderna, carac- 

 teriza el paralelismo en sus varias formas y aplicaciones. 



Anteriormente hemos visto (2) que esta hipótesis equivale á ad- 

 mitir que dos rectas perpendiculares á una tercera y situadas en el 

 mismo plano se cortan en el infinito, y queda, por consiguiente, 

 perfectamente establecida la unidad de la hipótesis que se hace en 

 las varias formas que puede darse al postulado, como también que 

 no es axioma la proposición XI de Euclides; no se la puede consi- 

 derar evidente, desde que á nadie se le ocurre considerar como lógi- 

 camente evidente que una línea recta se cierre en el infinito, ni que 

 una misma esfera pueda encontrarse á la vez enteramente á ambos 

 lados de un plano, y ser tangente á sí misma. 



Aproximación de la geometría euclideana. — Pero este análisis 

 nos demuestra también que la geometría de Euclides es estricta- 

 mente exacta, si se sustituyen esferas y círculos de radio infinita- 

 mente grande á los planos y rectas de la geometría ordinaria. Tales 

 esferas y círculos, llamadas horisferas y horiciclos por Lobat- 

 chewsky, y por Bolyai líneas L y superficies F, gozarían de todas 

 las propiedades de las rectas y planos en geometría euclideana, de 

 un modo absolutamente exacto; y también se podría establecer la 



(1) Véase capítulo IV, Identidad del plano con una esfera de radio x • 



(2) Véase capítulo IV, Segundo caso. 



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