114 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



trigonometría sustituyendo las rectas que miden los senos, cosenos, 

 tangentes, etc., por arcos de horiciclos. 



De lo que precede se deduce otra consecuencia de muy grande 

 alcance, observando que un plano tangente á una esfera y, por 

 consiguiente, á una horisfera, tiene común con ella un círculo ele- 

 mental infinitamente pequeño ; por consiguiente, la geometría eu- 

 clideanaplana, que es la de la horisfera, es matemáticamente exacta 

 para los elementos infinitamente pequeños, infinitamente próximos 

 de un punto dado, tanto sobre la esfera como en el plano mismo y 

 en el espacio en general, por cuya razón puede aplicársele las re- 

 glas ordinarias del cálculo infinitesimal con exactitud absoluta. 



£1 valor del elemento ds de una curva, cualquiera que sea la 

 hipótesis acerca de lo infinito en la recta, es \/'dx^ + dy^ -h dz^, 

 pero X, y j z son arcos de horiciclo, y la longitud ds asi obtenida 

 está expresada en unidades de arco de horiciclo. Volveremos sobre 

 este punto más adelante. 



Consideraciones históricas. — La necesidad" de esclarecer el mis- 

 terio del axioma XI de Euclides, hizo como ya hemos dicho, que se 

 le diera el nombre de postulado cuando los matemáticos trataron 

 de salir de los elementos; pero estaba reservado á nuestro siglo el 

 resolver tan ardua cuestión. 



Puede decirse que Lagrange, demostrando que la geometría y 

 trigonometría esféricas eran independientes del postulado, dio el 

 primer paso en el buen camino que llevaría á los geómetras á la 

 solución del problema. 



Legendre, buscando la demostración del postulado, pensó haber 

 probado que la suma de los tres ángulos de un triángulo no podía 

 exceder de dos rectos ; esta demostración se encuentra en las edi- 

 ciones 3^ á 8"" de su geometría, pero, sin duda al apercibirse de su 

 inexactitud, la suprimió en las ediciones posteriores. Esta demos- 

 tración se basa en que la línea recta no es cerrada, y se encuentra 

 en la excelente obra de J. Hoüel : Essai critique sur les principes 

 fondamentaux de la geométrie élémentaire (1). Basta leerla con 

 detención, para notar que en la hipótesis de la recta no cerrada está 

 la clave de aquella demostración, y al mismo tiempo su inexactitud. 

 Como sabemos que en una esfera la suma de los ángulos de un 

 triángulo esférico es siempre mayor quedos rectos, la demostra- 



Ll) Nota VI, página 80, loe. cit. 



