LOS FUND AMEMOS DE LA GEOMETRÍA H5 



cion debe fallar cuando se considera la recta como línea cerrada y 

 el plano como esfera de radio 5» 



Persiguiendo el mismo propósito de demostrar el postulado de 

 Euclides, Gauss y después J. Bolyai y J. N. Lobastchewsky, bus- 

 caron su demostración por reducción al absurdo, suprimiéndolo ; 

 guiados por esta idea errónea en sí, pero lógicamente buena, die- 

 ron con la verdad de que la geometría podía edificarse toda, y muy 

 bien, sin el auxilio del postulado. Gauss no publicó nada sobre 

 este resultado, pero de su correspondencia con Schumann, resulta 

 que lo conocía ; el honor de haberlo revelado primero pertenece sin 

 duda alguna á Bolyai y á Lobatchefsky (1), quienes establecieron 

 por los años de 1830 toda la geometría, suponiendo que la recta no 

 fuera cerrada en el infinito y haciendo ver que la geometría eucli- 

 deana era estrictamente exacta sobre una horisfera ; más tarde, 

 B. Riemann (2) (1867) hizo ver que a priori no se podía pretender 

 que la recta no fuera cerrada, y que era posible fundar toda una 

 geometría admitiendo que la recta fuera línea cerrada. 



Desde entonces quedó expedito el camino. 



Obsérvese que la única diferencia entre un plano y una esfera 

 es que esta no puede superponerse á sí misma por inversión; pero 

 cortando un pedazo de esta, y suponiéndola flexible éinextensible, 

 este se deja superponer á la esfera y á todas las superficies forma- 

 das por deformaciones de la misma esfera, por inversión y resba- 

 lamiento, lo mismo como el plano á sí mismo. 



Obsérvese además que hay superficies de curvatura constante 

 negativa, como la pseudo-esfera, engendrada por la rotación de la 



curva 



2- 



x~ -{- y = k~ e 



al rededor del eje de las z, que gozan de la misnia propiedad de 

 que cada una de sus partes puede trasladarse sobre ó superponerse 

 por inversión, á la pseudo-esfera y sobre todas las superficies pro- 



(1) Siendo este un apellido ruso, puede escribirse con el alfabeto latino de varios 

 modos. Se pronuncia Labachefsky . 



¡2) Sobre las hipótesis que sirven de fundamento á la geometría. Memoria 

 postuma de B. Riemann, publicada por R. Bedekind, é insertada en el tomo XIII 

 de las Memorias de la Sociedad real de Ciencias de Gottingen, en 1867. Una 

 traducción al francés, por J. Hoüel, de esta notable memoria se encuentra en lo 

 Anali di Matemática, sección II, tomo III. Milano, 1869-1870. 



