H6 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



ducidas por deformación de la misma, si se supone esta parte fle- 

 xible é inextensible ; se concebirá inmediatamente que toda pro- 

 piedad de las figuras planas que no dependa del postulado, podrá 

 probarse sobre la esfera y la pseudo-esíera. 



Beltrami, basándose en este resultado dio su Ensayo deinterpre- 

 tacion de la geometría no euclideana (1868). Para él las geometrías 

 euclideana, esférica ó elíptica, y pseudo-esférica ó hiperbólica, 

 corresponden á los tres casos de que la línea recta sea cerrada, 

 cerrada en el infinito, ó no cerrada. Pero esto es puramente una 

 interpretación^ pues en la pseudo-esfera ó en la esfera de la geome- 

 tría ordinaria, si bien la línea geodésica que une dos puntos, goza 

 de la propiedad de la recta sobre el plano (de ser el camino más 

 corto sobre la superficie), no deja de existir entre aquellos una 

 recta que los une, no comprendida en la superficie de la esfera ó 

 pseudo-esfera á que pertenecen. Como se trata de la teoría general 

 de las rectas en el espacio, el ensayo queda subsistente como inter- 

 pretación ó representación, pero de ningún modo en absoluto. 



Yendo más adelante, Beltrami publicó en 1869 su Teoria de los 

 espacios de curvatura constante. La idea fundamental de esta obra, 

 á parte de la teoría puramente matemática que contiene, es la 

 misma que sirvió de base á B. Riemann en el ya referido estudio, 

 y consiste en que un ser de dos dimensiones nunca podría saber si 

 un espacio de curvatura constante en que viviera (plano, esfera, 

 ó pseudo-esfera), es curvo ó no, porque podría desplazarse arbitra- 

 riamente en él sin modificar las dimensiones, ángulos ó superficies 

 de los elementos de una figura cualquiera. Por consiguiente, como 

 este ser nunca podría comprobar si una línea geodésica de la su- 

 perficie en que existe tiene uno ó más puntos en el infinito, al cual 

 no podría llegar, no podría él establecer la geometría sin admitir 

 un postulado; admitiría que no haya, que haya uno solo ó que haya 

 dos puntos de una línea geodésica en el infinito, y de esta manera 

 obtendría líneas geodésicas á que podría trazar por cada punto de 

 la superficie una infinidad, una sola ó ninguna paralela. 



Beltrami generaliza esta idea y resulta que nosotros, seres de tres 

 dimensiones á quienes nos falta la sensación de una cuarta dimen- 

 sión, no podemos se/íí/r si nuestro espacio es curvo; todo lo que 

 sabemos es que su curvatura es constante, porque á esto correspon- 

 de el axioma del desplazamiento de la figuras (1). 



(1) La concepción de un espacio á cuatro y más dimensiones es muy sencilla. 

 En efecto, el sentido de la cuarta dimensión nos falta sólo si se hace abstracción 



