LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 117 



Además Beltrami establece la geometría de un espacio de n di- 

 mensiones de curvatura constante, y demuestra que la geometría 

 euclideana supone implícitamente que la curvatura de nuestro es- 

 pacio es nula ; que si se admite que la recta tiene dos puntos en 

 el infinito, esto equivale á suponer negativa la curvatura del espa- 

 cio, y que si esta fuera positiva, la recta no tendría ningún punto 

 en el infinito. 



Pero la idea del espacio curvo no es de fácil comprensión ; na- 

 cida de una abstracción del espíritu, no es apropiada en el estado 

 actual de la enseñanza elemental, para fundar una teoría general 



de todas las propiedades del espacio, salvo las de extensión ; pero si se tiene en 

 cuenta alguna otra propiedad común á todos los puntos del espacio, alguna otra 

 variable independiente además de las tres coordenadas de un punto, el conjunto 

 de los puntos del espacio formará un espacio á cuatro dimensiones. Si, por 

 ejemplo, se supone que cada punto del espacio esté afectado de un cierto coefi- 

 ciente, como ser, por ejemplo, la densidad arbitrariamente variable en cada punto 

 de un polvo impalpable que llenara todo el espacio, el conjunto así obtenido es 

 un espacio á cuatro dimensiones, cuyo elemento es el punto. Tomando como ele- 

 mento del espacio la recta, se tiene igualmente un espacio á cuatro dimensiones 

 como lo hicimos ver al principio de este estudio (cap. II). Tales espacios pueden 

 muy bien tratarse geométricamente. 



Si en un espacio de cuatro dimensiones, cuyo elemento es el punto, se supone que 

 una dimensión, la densidad del punto por ejemplo, siga una cierta ley en fun- 

 ción de las otras tres dimensiones, se obtiene un espacio á tres dimensiones : p. 

 ej., la densidad varía proporcionalmente á la distancia de los puntos á un plano 

 fijo ; entonces existe entre las coordenadas {x, y, z, y la densidad u del punto 

 X, y, z) una ecuación de primer grado : el espacio que forman es un espacio pla- 

 no de tres dimensiones. Eliminando tt entre dos ecuaciones de primer grado en 

 X. y, z y íi, se obtiene una ecuación en x, y, z solo, que nos da la situación de los 

 puntos que satisfacen á las dos ecuaciones precedentes : es la ecuación de Un 

 plano, intersección de los espacios planos considerados. En general, dos espacios 

 de tres dimensiones que tienen por elemento el punto, se cortan según una su- 

 perficie, es decir, tienen una superficie común cuyos puntos satisfacen á las con- 

 diciones de ambos espacios. No es aquí el lugar de examinar más detenidamente 

 esta cuestión: todo lo que he querido hacer notar es que no se necesita ninguna 

 noción metafísica superior á las de la geometría ordinaria para comprender lo 

 que es un espacio de cuatro dimensiones, y para construir con este espacio. En 

 geometría ordinaria admitimos que todos los puntos del espacio son idénticos, es 

 decir, que hacemos la cuarta dimensión (densidad, por ejemplo) de estos puntos 

 igual á una constante, y así podemos hacer abstracción de ella. 



Sobre el tema de los espacios á más de tres dimensiones puede leerse con mu- 

 chísimo provecho y del punto de vista práctico, la excelente obra de I. Boussi- 

 nesq, Cours d'analyse infmitésiviale, tomo I, página 21 y siguientes. (París, 

 Gauthier-Villars, 1887). 



