118 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



de la geometría absoluta, la que se puede basar de un modo mucho 

 más simple en los principios elementales que preceden á la pro- 

 posición XVI de Euclides, como se verá en el capítulo siguiente, 



VI 



DESARROLLO ELEMENTAL DE LOS PRINCIPIOS DE LA GEOMETRÍA ABSOLUTA 



Hasta aquí hemos procedido de una manera analítica, buscando 

 lo que había de cierto en las verdades admitidas en el origen de la 

 Geometría, y demostrando que el axioma XI de Euclides, el postu- 

 lado, no se podía demostrar sin hacer una hipótesis sobre la forma 

 déla recta. Encontramos que esta hipótesis correspondía á una 

 forma particular de la recta, y para llegar á verlo con toda clari- 

 dad, hicimos el estudio de los principios de la Geometría en el caso 

 de admitirse que la recta fuera una línea cerrada, lo que es uno de 

 los tres casos que se pueden presentar ; este estudio que forma la 

 parte principal del capítulo IV, nos condujo á propiedades de dua- 

 lidad y polaridad muy notables. En él procedimos sintéticamente, 

 tomando como base admitida que la recta no tenga ningún punto 

 á distancia infinita. Para completar la prueba de la imposibilidad 

 de la demostración del postulado, nos falta ahora seguir el mismo 

 procedimiento con la tercer hipótesis : admitir que cada recta tenga 

 dos puntos en el infinito, uno en cada una de las dos direcciones 

 que puede seguir un móvil que se desplaza sobre ella, y basados 

 en esta hipótesis establecer sintéticamente los fundamentos de la 

 Geometría. 



Encontraremos de esta manera que la geometría de la recta cer- 

 rada, ó sea la elíptica, y la geometría de la recta no cerrada, ó sea 

 la hiperbólica, son idénticas : que lo que las distingue es única- 

 mente el valor real ó imaginario (en el sentido geométrico que 

 vamos á esponer) de una cierta constante, el cuadrante, y que la 

 geometría euclideana, ó sea la parabólica, se deduce indistinta- 

 mente de una ú otra como caso límite en que se da al cuadrante 

 un valor infinito. 



De esta manera dejaremos bien sentados los principios de la geo- 



