LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 119 



raetría, sobre la base inconmovible de los nueve primeros axiomas 

 j del axioma del movimiento, que es el más importante de todos, 

 aunque ni siquiera se encuentre mencionado en muchos tratados. 

 Pero, además, esta reconstrucción sintética déla geometría según los 

 nuevos principios debidos á tantos grandes matemáticos tiene va- 

 rias otras ventajas no despreciables. En primer lugar, da cuenta 

 claramente de la significación geométrica de lo que se llama ele- 

 mentos imaginarios, al mismo tiempo que permite su representa- 

 ción gráfica, haciendo desaparecer completamente el misterio que 

 los envuelve en geometría euclideana ; en segundo lugar, pone en 

 evidencia todas las propiedades proyeciivas de las secciones cóni- 

 cas; y finalmente, nos da un medio experimental de verificar cuál 

 de las hipótesis sobre la forma de la recta se realiza en nuestro es- 

 pacio. Aún puede decirse que sólo por el conocimiento de los ele- 

 mentos de la geometría absoluta se llega á una concepción clara 

 de lo imaginario, de la polaridad y proyectividad en el plano y en 

 el espacio ; todos estos problemas tan complicados en apariencia 

 se reducen entonces á simples cuestiones de igualdad de anguloso 

 de segmentos de rectas, y de sentidos de traslación con una recta 

 ó de sentidos de rotación al rededor de un punto. 



Lineas equidistantes de una recta. — Analogía con el circulo. — 

 Considérese una recta cualquiera AB, y en uno de sus puntos, A, 

 una perpendicular AN á AB. Si AN se mueve en el plano NAB, de 

 manera á quedar siempre normal á AB, y conservar la misma lon- 

 gitud AN = d, el lugar geométrico del punto N es una linea equi- 

 distante de AB; d es el parámetro de esta línea, AB su eje^ y la recta 

 AN su radio. Si se hace resbalar el eje sobre sí mismo, la equi- 

 distante resbala también sobre sí misma. Si se abate el plano N. 

 AB sobre sí mismo al rededor de AB como eje, la equidistante N^N^, 

 viene á ocupar una posición N»'. Nf,' simétrica de la anterior con 

 relación á AB. Si se abate el plano NAB, y la recta AB, sobre sí 

 mismo por rotación al rededor de una normal cualquiera á AB, 

 como ser el radio DN^, los puntos C y E equidistantes de D sobre 

 AB, se superponen el uno al otro, asi como los radios CNg y ENg, y 

 también, por consiguiente, los puntos Nc y Ng de la equidistante; 

 en general, toda la parte izquierda de esta, con relación á UN,; se 

 superpone á la parte derecha de la misma con relación al mismo 

 radio ; los triángulos DN^Nc y DN^Ne son iguales, pues se superpo- 

 nen, y de ahí resulta 



