LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 121 



Superficie equidistante de un plano. — Analogía con la esfera. — 

 Se entiende sin necesidad de demostración que todas las propieda- 

 des anteriores se estienden al espacio y al plano, y que en general:- 



Toda superficie equidistante de un plano, que llamaremos plano 

 axial, es simétrica de si misma con relación á cualquier normal á 

 dicho plano ó ct cualquier plano normal á este; sus tangentes y planos 

 tangentes son normales á aquellos planos y rectas normales al plano 

 axial ; los unos se pueden llamar p/anos radiales, y las rectas ra- 

 dios de la equidistante. 



En el caso de la recta cerrada, las superficies equidistantes son 



esferas cuyo radio es el complemento del parámetro, ó sea ^ — d^ y 

 cuyo centro es el polo del plano axial (1). 



En el caso de la recta cerrada en el infinito, ~ — d = co, todas 



las superficies equidistantes son esferas del mismo radio c^o, igua- 

 les entre sí y al plano axial generador, que es una superficie equi- 

 distante de parámetro cero Todas ellas forman un haz de planos 

 paralelos al plano generador, y una recta ó un plano normal á 

 una de ellos lo es á todos los demás. 



En el caso de la recta no cerrada, subsiste la analogía de la su- 

 perficie equidistante con la esfera, fundada en sus propiedades 

 fundamentales, de resbalar sobre sí misma sin deformación y de 

 ser simétrica á sí misma con relación á cualquier recta ó plano que 

 le es normal. 



Pero como las normales no concurren ya á ningún punto real 

 del espacio, estas superficies son como esferas á las cuales no se 

 pudiera asignar centro real alguno. 



(1) Véasfí capitulo IV, Polo y plano polar ahholuto. Como, en este caso, el plano 



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n es una esfera que tiene por centro el polo P de este plano, y por radio g? re- 

 sulta que cualquier esfera s de centro en P, y de radio arbitrariamente elegido r 

 es concéntrica con n. Un radio cualquiera PA.' de la esfera 2 le es normal en A', 

 y es también normal al plano n (pues pasa por el centro de n, su polo) en 



un cierto punto A. La distancia AA' = ^ — r es constante, y se ve que cual- 

 quier esfera s de centro P es equidistante del plano axial n, que es el plano polar 

 de P. 



Cortando el sistema de esferas concéntricas s, por un plano diametral * que 

 pase por P, se obtiene como sección de n una recta tc, la polar de P en el plano 

 í, y como secciones de las esferas s los círculos o- con centro en P, que forman 

 el sistema de las equidistantes de la recta ^ que es el eje de que se trató antes. 



