162 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



suficiente que podamos, mediante los elementos que lo definen, 

 construir y ejecutar todas las operaciones gráficas y analíticas que 

 caracterizan el punto (1). 



Identidad de los puntos imaginarios entre si. — Desde ya se ve 

 con toda evidencia que todos los puntos (ó centros) (2) imaginarios 

 son idénticos entre sí, en el sentido geométrico de la palabra (3). En 

 efecto, podemos siempre superponer dos planos, y al mismo tiem- 

 po los sistemas de equidistantes que cada uno de ellos determina ; 

 entonces, el conjunto de las propiedades que determinan los cen- 

 tros imaginarios de estas equidistantes coinciden, y ambos puntos 

 imaginarios, caracterizados por este conjunto, se confunden, ó se 

 superponen uno á otro; debemos considerar entonces que geomé- 

 tricamente son cosas iguales. 



Determinación del punto imaginario por elementos reales. — Un 

 punto imaginario está determinado por una recta real que es el 

 eje del sistema de equidistantes cuyo centro es aquel punto ima- 

 ginario. 



Como una recta determina dos sistemas de equidistantes simé- 

 tricas, con relación á esta recta tomada como eje, se ve que toda 

 recta determina un par de puntos imaginarios ; cada uno de los 

 puntos del par está caracterizado por uno de los lados de la recta 

 que lo determina. Por analogías cuya evidencia resultará más 

 adelante, llamaremos polo absoluto, el punto imaginario así deter- 

 minado por una recta, la que designaremos como su polar absoluta. 



(1) Véase B. Rieman, loe. cit. § 1. «Les concepts de grandeur ne sont possi- 

 Mes que la oú il existe un concept general qui permette différents modes de 

 déterminalion. Suivant qu'il est, ou non, possible de passer de l'un de ees mo- 

 des de délerraination a un autre, d'une maniere continué, ils forment une va- 

 ríete (Varietas, Mannigfaltigkeit) continué, ou une varíete diseréte; etiacun en. 

 partieulier de ees modes de détermination s'appelle dans le premier cas unpoint,. 

 daus le seeond un élement de cette variété». 



(Traducción de J. Hoiiel). He subrayado la parte pertinente á la generali- 

 zación anterior de la idea de punto, como concepto del conjunto de dos rec- 

 tas, etc. 



(2) En adelante, nos serviremos casi esclusivamente de la palabra punto imagi- 

 nario ó punto real, reservando la palabra centro á los casos en que, al mismo 

 tiempo con un punto, se consideren propiedades de los círculos ó esferas cuyo 

 centro es este punto. — En el fondo, como lo hicimos ver antes, las dos palabras 

 son equivalentes. 



(3) Véase capitulo II, el estudio de los axiomas geométricos y la definición- 

 de la igualdad en el sentido geométrico y en el sentido general. 



