LOS FUNDAMENTOS UE LA GEOMETRÍA 163 



Definición general del cuadrante. — Considérense ahora en un 

 plano (fig. 32) tres punios A, C, B sobre una recta, tales que C sea 

 el punto medio de AB. Tracemos las tres normales á AB en A, B y C, 

 y sean AA',BB' yCC las partes de estas normales que se en-- 

 cuenlran de un lado de la recta AB, por ejemplo, arriba de AB; 

 y AA", BB", CC" sus prolongaciones hacia abajo. Podemos aba- 

 tir A"AA' sobre Bi'BB' al rededor de C-CC/ como eje; en este 

 movimiento A se abate sobre B, y B sobre A. Es decir que pode- 

 mos superponer una normal A 'A" á cualquier otra B'B", sin cam- 

 biar, en el plano, la posición de la recta AB misma, ni sus equidis- 

 tantes. 



Pero, en este movimiento, el punto imaginario de intersección 

 de las tres normales á A, B y C, que es el centro de todos los cír- 

 culos que forman dicho sistema de equidistantes, queda inmóvil 

 como el sistema mismo; la normal C"CC' no cambia de lugar, y 

 este punto se encuentra sobre ella. Por consiguiente, los segmen- 

 tos de las rectas AA' y BB' comprendidas entre el eje ó polar AB y 

 su polo Pab, se pueden superponer uno a otro, es decir, que son 

 iguales entre sí (definición de la igualdad geométrica). De la mis- 

 ma manera se vería, superponiendo la figura A'ACC á la C'CBB', 

 que Pab C = PabB-PabA. 



De ahí se deduce que lodos los segmentos que van de un polo á 

 su polar absoluta son iguales entre sí. Abatiendo ahora, alrededor 

 de AB como eje, la parte superior sobre la parte inferior del plano, 

 la recta AB no cambia, sus normales se abaten sobre sí mismas 

 por inversión, las equidistantes que se encontraban debajo de la 

 recta AB se encontrarán arriba de la misma, y el polo superior 

 deberá considerarse como habiéndose sustituido por el polo 

 inferior. De este modo se ve que ambos polos determinan con los 

 puntos de su polar segmentos de rectas iguales entre sí. Y como 

 se puede superponer una recta á cualquier otra del plano, con todo 

 su sistema de normales y de equidistantes, resulta finalmente que 

 el segmento de recta comprendido entre un polo y cualquier punto 

 de su polar absoluta, es una cantidad constante. 



Llamaremos esta cantidad un cuadrante. 



La generalización de loque precede para el espacio á tres di- 

 mensiones es evidente : Un plano determina dos puntos imaginarios 

 (uno para cada cara del plano), que son los centros de las superfi- 

 cies equidistantes del plano que se encuentran arriba y debajo del 

 mismo. Este punto se llama polo absoluto, y el plano axial, plano 



