LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 165 



La definición de la adición de las distancias es que 



Dist. AB^dist. AC + dist. CB, 



3^ esta relación subsiste entre tres puntos inaaginarios cualesquiera 

 situados en una misma recta real, pues^, de las ecuaciones ante- 

 riores se deduce: 



Dist. Va Po = dist. Va Pe + dist. Pe P, • 



Por consiguiente, las distancias entre puntos imaginarios de una 

 misma recta son distancias iguales á distancias reales : ellas obe- 

 decen á la lej de adición de las distancias reales, y siguen pues 

 en todo las mismas reglas matemáticas que aquellas; en mía pa- 

 labra la distancia entre dos puntos imaginarios situados en una 

 misma recta es una longitud real, y es igual á la distancia, medida 

 sobre esta misma recta, entre los ejes de aquellos puntos imagina- 

 rios. 



El cuadrante define una distancia imaginaria. — La cantidad «un 

 cuadrante» no es comparable con las demcis longitudes del plano, 

 porque si lo fuera, repitiendo un número suficiente de veces una 

 longitud bastante pequeña, podríamos medir sobre la recta AB, 

 desde A, una longitud igual al cuadrante; es decir, que llegaría- 

 mos á un punto real P^, y la recta sería un círculo con radio 

 real PaA, ó sea, una línea realmente cerrada, al revés de la hipó- 

 tesis que nos sirve de base. Provisoriamente designaremos el cua- 

 drante con el símbolo K, y queda eiitendido que K no es una lon- 

 gitud que se pueda medir con la misma unidad que las distancias 

 entre puntos reales del plano. 'No es homogénea con ellas. Dire- 

 mos que es una distancia imaginaria. Tal distancia no puede ser 

 engendrada de ningún modo por distancia real alguna. 



Más adelante demostraremos que K es un múltiple de y/ — 1, 

 que por consiguiente, la palabra imaginaria en el sentido geomé- 

 trico que le damos aquí, tiene el mismo valor que en álgebra, 

 pero esta demostración no es necesaria para lo que sigue inme- 

 diatamente ; la reservaremos hasta estudiar la cuestión de la 

 suma de los tres ángulos de un triángulo, y de la superficie de 

 los triángulos reales é imaginarios: allí resultará con toda evi- 

 dencia. 



