LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 167 



Si la distancia OA del centro O á otro punto A del plano es fini- 

 ta, debemos también considerar el punto A como centro del horí- 

 ciclo con centro en O. En efecto, tracemos la recta OA; ella corta 

 normalmente al horíciclo, en dos puntos Ui y Uj, que se encuen- 

 tran sobre la recta OA saliendo de O en el sentido OA y en el sen- 

 tido opuesto ; pero 



OUi = OA -I- ATJi = 00 

 y OU2 = OA -f AUo + 00 



de donde se deduce que siendo OA finito: 



AUi = AU. = 00 



Los dos círculos (horíciclos) descritos de O y de A como centros, 

 y con 30 como radio, tienen las dos estremidades del diámetro OA 

 comunes, y por consiguiente coinciden. 



De ahí se deduce que: 



Todos los puntos en el infinito de un plano se encuentran sobre el 

 mismo círculo (horíciclo), cuyo centro es cualquier punto real del 

 plano; lo llamaremos el circulo del infinito del plano. 



Toda recta real, es decir, que une dos puntos reales del plano, 

 corta el círculo del infinito en dos puntos reales, y lo corta normal- 

 mente, pues ella es siempre un diámetro de este círculo. 



El circulo del oo es equidistante de todas las i^ectas reales del 

 plano. — Elíjase una recta cualquiera a en un plano ; sea C¿ el cír- 

 culo del infinito de este plano, y U un punto cualquiera de este 

 círculo. 



Como todo punto de la recta a puede tomarse para centro del 

 círculo C¿, resulta que a pasa por el centro de C¿, y lo corta nor- 

 malmente en dos puntos diaraetralmente opuestos, como lo obser- 

 vamos ya ; los designaremos con U„i y Uao. 



Si de un punto U, arbitrariamente elejido sobre Q, bajamos una 

 normal UA á a, la distancia del punto U al punto A, es decir, el 

 segmento UA, será infinitamente grande, y por consiguiente, la 

 equidistante Eoo cuyo parámetro es== oo , coincide con el círculo 

 del infinito, cualquier que sea la recta generatriz, ó eje de dicha 

 equidistante. 



Como la distancia U„iA == oo = U^sA, Uai y ü^o son también 

 puntos de la equidistante Eoo = C¿ ; en esto hay una contradic- 



