LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 473 



Los elementos imaginarios, que hemos definido geométricamente de 

 una manera subjetiva, tienen una existencia objetiva : son todos los 

 elementos situados fuera (del otro lado con relación á nosotros) del 

 círculo infinito 



Pero ya que el cuadrante tiene una existencia objetiva, debemos 

 considerar que efectivamente el plano es una esfei^a de radio, un 

 cuadrante, como lo encontramos al comenzar este capítulo, y po- 

 demos desde ya aplicar en el caso presente de la recta no cerrada ó 

 sea de la geometría hiperbólica, todas las propiedades de polaridad 

 encontradas al estudiar la geometría elíptica en el capítulo IV. 



En efecto, no hemos basado las propiedades de polaridad allí 

 demostrada sobre el hecho de que el cuadrante sea una longitud 

 realmente medible, sino únicamente en el hecho de que es una can- 

 tidad constante, y de que los ángulos de un triángulo equilateral 

 que tiene por lados tres rectas cuya longitud es w/i cuadrante (án- 

 gulo autopolar) son ángulos rectos (1). 



fl] Véase capítulo IV, Unidad de distancia entre puntos, rectas y planos... 



« ... Entonces, el círculo de radio unitario se trasfornia en una línea recta; el 

 ángulo que tiene su vértice en el centro del círculo y comprende el cuadrante en- 

 tre sus lados es un ángulo recto. » Es la misma propiedad que la demostrada 

 del triángulo autopolar cuyos tres lados son iguales á un cuadrante, y cuyos tres 

 ángulos son rectos. 



(Continuará). 



