LOS FUNDAMENTOS UE LA GEOMETRÍA 219 



esfera con radio igual á un cuadrante; al encontrar esta propiedad 

 al principio de este capítulo, hemos observado ya, que la exactitud 

 de los teoremas de la geometría elíptica en la geometría hiperbó- 

 lica se deduce directamente de ella : pero no nos parece supérflua 

 la repetición de estas demostraciones que se ofrecen ahora bajo un 

 punto de vista tan natural, y distinta en apariencia del anterior. 



Pero volvamos á nuestra perspectiva y á la figura 40. Dos rectas 

 homologas cualesquiera, como AB yA'B',se cortan también so- 

 bre la polar o, pues ambas son normales á la bisectriz OC ' = c del 

 ángulo A'OB' que parte por mitad los segmentos AB y A'B', y 

 concurren pues en el polo Pe del radio c, cuyo polo se encuentra 

 precisamente sobre la polar o, como resulta del mismo raciocinio 

 anterior. 



De tal suerte, queda completamente probado el teorema enun- 

 ciado al principiar este párrafo. 



Ahora bien, siendo las propiedades de dos figuras perspectívi- 

 cas, propiedades de pura posición, encontramos en una perspec- 

 tiva, como la estudiada, un método gráfico que nos permite estu- 

 diar, visible y objetivamente á la vez, las propiedades de los ele- 

 mentos reales é imaginarios del espacio. 



Con este objeto, trazaremos en un plano un círculo cualquiera, 

 y lo consideraremos como la imagen ó perspectiva del círculo del 

 infinito; todas las propiedades de posición demostradas para este 

 se verificarán en su imagen y recíprocamente. Podremos así obte- 

 ner conjuntamente las propiedades métricas de toda figura tra- 

 zada en el plano, y las propiedades de posición no solo de cual- 

 quier círculo, sino también de cualquier sección cónica en el plano 

 considerado. 



En el espacio tomaremos como perspectiva de la esfera del in- 

 finito, una esfera cualquiera, que nos permitirá estudiar á la vez 

 las propiedades métricas de todas las figuras del espacio, y las 

 propiedades de posición de todas las superficies que se obtienen 

 como modelos perspectivos de una esfera, cuyas superficies se 

 llaman : de segundo orden y clase, por razones que veremos más 

 adelante. 



Es evidente que el desarrollo completo de tal estudio saldría 

 completamente de los límites de nuestro trabajo ; así que nos con- 

 cretaremos á los puntos que se ligan directamente con su ob- 

 jeto: los fundamentos de la geometría y la teoría de la medi- 

 ción. 



