258 



ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Pi el eje P^Pg opuesto á P^ 

 j5j el eje PgPj opuesto á P^ 

 jcig el eje P^P^ opuesto á Pg 



(Todas estas propiedades 'y defini- 

 ciones se estienden evidentemente á 

 cualquier cuadrángulo, sin que nece- 

 sitemos admitir que sea inscrito á 

 una cónica.) 



Seajo'2 la polar del centro P^, (p'^ 

 no está indicada en la figura) ; esta 

 polar corta normalmente las rectas 

 PgAB y PjCD, que pasan por el polo 

 Pg, haciendo con ellas ángulos rectos 

 en sus puntos de intersección M^g y 

 Mg, ; 



Abatiendo el plano de la figura so- 

 bre sí mismo, alrededor de p\ como 

 eje, las rectas AB y CD, normales á 

 p'^ se abaten sobre sí mismas, que- 

 dando fijos los puntos Mi3 y Mg^. 

 Pero en este movimiento de abati- 

 mienio alrededor de una recta p' a, 

 que es un diámetro del círculo en el 00 

 s (pues toda recta del plano es un 

 diámetro de este círculo), la estremi- 

 dad B del diámetro AB, normal al 

 eje de rotación, se abate sobre la otra 

 extremidad, A, del mismo, y recípro- 

 camente ; de la misma, manera se ve 

 que C se abate sobre D, y D sobre C. 



Entonces, la recta AD se abate so- 

 bre la BC y recíprocamente; el punto 

 de intersección, Pg, de estas dos rec- 

 tas no cambia de lugar, y es, pues, 

 un punto del eje de rotación. Asi 

 mismo, la recta AC se abate sobre la 

 BD, y recíprocamente, y su punto 

 común Pj no cambia de lugar, siendo 

 pues otro punto del eje de rotación, 

 que es la polar p\: esta polar, por 

 consiguiente, no es otra que el eje p^^ 

 dePjPg, opuesto al punto diagonal Pg. 



Pi el centro p^jOg opuesto á p^ 

 Pg el centro p^p^ opuesto á p^ 

 Pg el centro p^p^ opuesto á p^ 



(Todas estas propiedades y defini- 

 ciones se estienden evidentemente á 

 cualquier cuadrilátero, sin que nece- 

 sitemos admitir que sea circunscrito á 

 una cónica). 



Sea P'2 el polo del eje p^ (P% no 

 está indicado en la figura) ; este polo 

 determina con los puntos p^ab y p^cd 

 rectas de unión, mig y ???3i ; los ángu- 

 los p^mig y p^Wai, determinados por 

 la polar ;)j con estas rectas ??)-, que pa- 

 san por su polo P '2, son ángulos rec- 

 tos. 



Abatiendo el plano de la figura so- 

 bre sobre sí mismo, alrededor de p^ 

 como eje, los puntos ab y cd no cam- 

 bian, y las rectas m^g y ??ígi que son 

 normales á p¡ se abaten sobre sí 

 mismas. Pero en este movimiento de 

 abatimientoal rededor de una recta p¡, 

 que es un diámetro del circulo en el 

 00 , s (pues toda recta del plano es un 

 diámetro de este círculo), la tangente 

 a, se abate sobre la tangente 6, que 

 le es simétrica con relación al diáme- 

 tro p, y recíprocamente; de la misma 

 manera se ve que c se abate sobre d, 

 y d sobre c. 



Entonces el punto ad se abate sobre 

 el be, y recíprocamente; su recta de 

 unión />3 no cambia de lugar, aba- 

 tiéndose sobre sí misma, y es, pues, 

 una normal al eje de rotación. Así 

 mismo el punto ac se abate sobre el 

 bd, y recíprocamente, y su recta de 

 unión jOj, no cambia de lugar, siendo 

 pues esta, otra normal al eje de rota- 

 ción ; ambas normales pg y p¡^ pasan 

 por el polo P'2 de p;,, cuyo punto, por 

 consiguiente, no es otro que el centro 

 Pg ^PiPs, opuesto á la recta diago- 

 nal p^. 



Para abreviar el discurso podemos llamar centros de un cua- 



