LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 259 



drángulo SUS puntos diagonales, y ejes de un cuadrilátero sus rec- 

 tas diagonales. 



Entonces, los resultados obtenidos se resumen en el teorema si- 

 guiente : 



■ , ( cuadrdnqulo inscripto \ , 

 Los tres centros de un ] , , ,, • • [a una sección 



( cuadrilátero circunscripto ) 



cónica, determinan un triángulo autopolar; cada centro de tal 

 triángulo es el polo del eje opuesto con relación á la cónica conside- 

 rada. 



Si se considera la cónica H como círculo en el infinito, uno de los 

 centros del triángulo autopolar es siempre real, y los otros dos 

 imaginarios; los dos ejes que pasan por el centro real son reales, 

 é imaginario el eje que junta los dos centros imaginarios. 



Un eje real, como p-^iS^g- 42), corta el círculo en el infinito en 

 dos puntos U21 y Ujo, que, según lo demostrado .anteriormente, son 

 los puntos de contacto de las tangentes trazadas á H por el polo P3 

 de este eje (compárese con la fig. 41). 



Dos tangentes cualesquiera, como P3U21 y P2U31, se cortan en un 

 punto Di, que es el mismo punto M de la figura 36, el punto de 

 encuentro de las tres bisectrices del triángulo autopolar, (ó sea 

 equilátero y equiángulo), P1P2P3. La recta PjDj corta pi en un punto 

 U,3o, que es el punto medio de P2P3 (el equivalente del punto A" de 

 la fig. 36). 



Las 4 tangentes P2U31, P2U13, P3U21 y P3U12 forman un cuadrilátero 

 circunscripto á la cónica S ; sus tres ejes P2P3, D1D3 y D2D4 determi- 

 nan un triángulo autopolar, de suerte que D1D3 y D2D4 se cortan en 

 el polo Pi, de P2P3 ; además, el punto U23 es el polo del lado P1U32 ; 

 la distancia U23U32 es un cuadrante, k. Como se tiene 



P2L'32 = LJ32P3 = k 

 y U32U23 = /i:, 



resulta 



k 



P2LI23 = U32U23 — P2U32 = g ^=^ P3U32 ^==^ P3U23 • 



Por consiguiente, siendo el punto U32 el medio del segmento in- 

 terior P2P3, tendremos que el punto U23 cuya distancia á U32 es un 

 cuadrante, es el medio del segmento exterior Y-^¿. Si se considera 

 uno de estos puntos como centro del segmento, su polar se llama 

 eje del mismo, y, por lo visto, es la normal á la recta P2P3, en 



