260 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



el Otro punto medio. Por ejemplo, si P2 es el medio, ó centro, de 

 U23U32, P2 es el eje de este segmento, y pasa por el otro punto medio 

 P3; si al contrario se considera P3 como centro, p^, que pasa por 

 P2, es el eje correspondiente. 



Si se abate el plano de la figura sobre sí mismo alrededor de 

 D1D3 como eje, el círculo en el infinito, 2, que gira alrededor de 

 uno de sus diámetros, D1D3, se abate sobre sí mismo, y las tangen- 

 tes D3U12 y D3U13 se permutan entre sí, lo mismo que D1U21 y D1U31 ; 

 las rectas U31U12 y U21U13 se abaten sobre sí mismas, pues este movi- 

 miento no es más que una permutación de U13 por U12 y de U21 por 

 U31; luego, aquellas rectas son normales al eje de rotación, y pasan 

 por su polo U33. De la misma manera se vería que U13U21 y U12U31 

 pasan por el punto U32, y que por consiguiente : 



El cuadrilátero formado por í tangentes á una sección cónica (ii-n 

 Mi3, W21, ^12), y el cuadrángulo formado por sus 4 puntos de contacto 

 (U31, Ui3j U21, U12) tie?ien los mismos centros y ejes, y determinan un 

 solo triángulo autopolar, PiP2P3- 



Habríamos llegado á las mismas conclusiones partiendo de la 

 figura 43. 



En lugar de las tangentes ?% y u^, que se pueden trazar á S, 

 desde un punto P9, imaginario ó exterior á S, y de los puntos de 

 contacto U31 y U13 sobreestás tangentes, habríamos tenido los puntos 

 de intersección que se pueden obtener con 33, sobre una recta p>, 

 real ó interior á S, y las tangentes M31, Un en estos puntos. 



La figura no habría cambiado, solamente se habría sustituido á 

 la tangente su punto de contacto, y recíprocamente. 



Además, es visible que las tangentes á S por U32 y U23 tienen por 

 puntos de contacto los de intersección de las rectas D2D4 y D1D3 con 

 3], pues estas rectas son las polares, M32 y W23, de aquellos puntos ; y 

 como P2 y P3 son los medios de U23U32, y Pi, P2 los ejes de este seg- 

 mento, resulta de lo anterior que si por los puntos Ug^y U23se trazan 

 las 4 tangentes á S, ellas se cortan dos á dos sobre las polares pa y 

 P3, pues el triángulo autopolar determinado por el cuadrilátero 

 que forman aquellas tangentes, es el P2P3P1 = PiPsPs- 



Combinando 4 á 4 las ocho tangentes trazadas á S por P2, P3, U23 

 y U32, y los ocho puntos de intersección con 2 de po, p-a, W32 y í%, 

 y á su vez los nuevos puntos y tangentes obtenidos de esta 

 manera, entre sí y con los puntos y tangentes anteriores, etc., 

 podrían multiplicarse infinitamente las propiedades de los polígo- 

 nos de un número par de lados circunscriptos á S, y que desempe- 



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