LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 261 



fiarían el papel de polígonos regulares, pues todos sus ángulos 

 serían iguales entre sí, así como sus lados, si se considera S como 

 círculo en el infinito, ó bien como círculo de centro Pi. 



Obtendríamos también de esta manera la subdivisión en un nú- 

 mero creciente de partes, igual á cualquier potencia entera y po- 

 sitiva de 2, del ángulo recto Pi, y de la recta imaginaria /Jj. 



Construcción lineal de la polar y del polo, con relación á una có- 

 nica dada. — Pero la consecuencia más importante del teorema 

 relativo al triángulo autopolar formado por los centros y ejes de un 



( cuadrángulo inscripto ) , . , . , , 



i , .,, . -.la una sección comea, es la manera de 



(cuadrilátero circunscripto! 



construir, con la sola regla, la polar de un punto, ó el polo de una 



recta con relación á una cónica dada. 



Sea P' (fig. 44) (1) el punto cuya Sea p (fig. 45) la recta cuyo polo 



polar se pide con relación á la có- se pide con relación á la cónica s. 



nica s. Se trazan por P dos rectas Se eligen en p dos puntos en que pa- 



que corten 2 en puntos A, B, C, D. sen tangentes a, b, c, d, á s. p es 



P es uno de los centros del cuadran- uno de los ejes del cuadrilátero ahcd. 



guio ABCD. Los otros dos centros se Los otros dos ejes se encuentran en 



encuentran sobre la polar buscada. el polo buscado. 



Esta construcción es siempre posible. Además, pueda repetirse 

 tantas veces como se quiere, y obtenerse tantos puntos de la po- 

 lar, ó tantas rectas por el polo, como lo requiere la exactitud de la 

 construcción. 



Las figuras 44 y 45 demuestran esta construcción para los pun- 

 tos Pj, P2, P3, ó para las rectas pi, po, Ih- Dado el punto Pi, por ejemplo 

 (fig. 44), se obtienen los puntos Po y P3 de la polar px, como puntos 

 diagonales, ó centros, del cuadrángulo ABCD, en las intersecciones 

 de AB con Cü y de BC con AD. O bien se obtiene la polar p-z de P3 

 como recta de unión de los puntos AC. BD = Pi y AD. BC = P3. 



A veces, puede no convenir trazar tangentes á la cónica para en- 

 contrar el polo de una recta; entonces, sobre la recta dada, pi, por 

 ejemplo (fig. 44), se elije un punto cualquiera P2, y se busca su 

 polar P2, como eje correspondiente á. P2 en un cuadrilátero" cual- 

 quiera ABCD', determinado sóbrela cónica S por dos secantes 

 cualesquier por P^. Pa corta pi en otro punto P3; se juntan A y B 



(i) En las figuras, el punto P es uno cualquiera de los puntos Pi, Pg ó P3, por 

 cuya razón no le damos índice alguno. 



