262 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



con Pg cuyas rectas cortan la cónica en D y C ; las rectas AC y BD es 

 cortan en Pj, que es el polo buscado. 



O bien, si P3 se encuentra en una posición incómoda para la 

 construcción, se elije otro punto cualquiera Q de la recta pi, y se 

 determina su polar q; esta corta la fo en el polo buscado Pi, pues 

 la recta de unión de los puntos P2 y Q es la polar del punto de in- 

 tersección de sus polares p2 y q. 



Al contrario, si no se quisiera hacer uso de la construcción de 

 los puntos de intersección de rectas con S, sino al contrario de las 

 tangentes, se haría la construcción reciproca de la anterior, la 

 que es demasiado evidente para detenernos en ella. 



Esta construcción permite también trazar las tangentes de un 

 punto á una cónica, y fijar sus puntos de contacto: son las rectas 

 que unen este punto con los puntos de intersección de su polar con 

 aquella cónica. La recíproca es evidente: los puntos de intersec- 

 ción de una recta con una cónica, son los puntos de intersección 

 de esta recta con las tangentes de su polo á aquella cónica. 



Polo de la tangente á una cónica, y recíproca. — El polo de una 

 tangente á una cónica S es su punto de contacto, y la polar de un 

 punto de S es su tangente. 



En efecto, si el punto P9 (fig. 46) se acerca mucho á S_, y si tra- 

 zamos dos rectas PgAB y P2CD, los puntos A y C, se encontrarán 

 muy próximos uno de otro. Construimos los centros y ejes del 

 cuadrángulo ABCD. Pi se encontrará muy próximo de P2 y, al 

 límite, la figura 46 degenera en la figura 47; los 4 puntos P,, A, C 

 y Pj se confunden, la recta AC coincide con la polar p2 = P3P1, y 

 con la tangente en Pg á la cónica. 



El triángulo autopolar Pi Po Pg degenera en la sola recta P2 P3, el 

 punto V] se confunde con P2, y el punto Pg es cualquier punto de 

 la tangente p2- 



Algunas propiedades de las rectas isótropas. — Siguiendo en la 

 misma figura 47, vemos que cualquier punto P4 de la tangente p, 

 al círculo en el infinito S, determina con el punto de contacto P^ 

 de dicha tangente un triángulo autopolar. 



Si Pg y P4 son dos puntos distintos en la tangente Pi, resulta que 

 P3P2 = p^Pa = un cuadrante, lo que requiere que P3P4 es igual á 

 cero, cualesquiera que sean los puntos Pg y P4 de la tangente en P2. 

 En otros términos : 



