LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 263 



La distancia de dos puntos cualesquiera de una recta isótropa 

 (tangente al círculo en el infinito) es nula. 



Este resultado no es más que la recíproca del teorema que de- 

 mostramos antes (1) : Bectas concurrentes á un mismo punto del 

 círculo en el infinito, hacen ángulos nulos entre sí; pues trasfor- 

 mando este teorema por polares recíprocas absolutas, obtenemos en 

 lugar del punto del círculo en el infinito, una recta tangente á este 

 mismo círculo, polar de aquel punto, y en lugar de las rectas que 

 se encuentran en dicho punto, sus polos que se encuentran en 

 aquella tangente ; el final del mismo teorema espresaba que estas 

 rectas «son todas normales á la recta isótropa que pasa por aquel 

 punto», y su recíproca nos dice que «estos puntos (los de la tan- 

 gente ó recta isótropa considerada) están todos á la distancia un 

 cuadrante del punto de contacto que se encuentra en aquella tan- 

 gente». En efecto, sabemos que la distancia entre dos elementos 

 es igual á la distancia entre sus recíprocas polares absolutos (2); 

 para ello es suficiente que elijamos como unidad de longitud la 

 del cuadrante, y el ángulo recto por unidad de ángulo, como ya 

 lo hicimos en geometría elíptica, en el capítulo IV (3). Entonces, 

 la figura recíproca de dos rectas normales, cuyo ángulo ó distan- 

 cia es «un cuadrante», está formada por dos puntos que se en- 

 cuentran á la distancia «un cuadrante» uno de otro; en efecto, rec- 

 tas normales son tales que cada una de ellas pasa por el polo de la 

 otra, como lo son por ejemplo po y po en la figura 44, mientras que 

 sus polos Pg y P4 se encuentran á «un cuadrante » uno de otro (4). 

 Asimismo, vimos (fig. 47) que P3P1, ó P4P1 forman un triángulo 



(1) véase, Tangentes al circuló en el infinito, 6 rectas isótropas, y espe- 

 cialmente !a nota al pié de la página 169. 



(2) Véase capítulo IV, La distancia entre dos elementos es igual á la de sus 

 conjugados absolutos, y la observación en el capítulo VI, Objetividad de los ele- 

 mentos imaginarios, sobre la conservación en geometría hiperbólica de todas 

 las propiedades de polaridad encontradas al estudiar la geometría elíptica en el 

 capítulo IV . 



Í3) Véase capítulo IV, Unidad de distancia entre puntos, rectas y planos. 

 Es evidente, sin demostración alguna, que los párrafos que preceden aquél, re- 

 lativos á la medición del ángulo plano y del diedro, se conservan idénticos en 

 geometría hiperbólica, visto que se han establecido abstracción, hecha de cualquier 

 hipótesis, respecto á la forma de la recta. 



(4) Esto resulta además de la definición misma del polo y de la polar; véase 

 capítulo VI. Determinación del punto imaginario, página 162, y Definición ge- 

 neral del cuadrante, página 163. 



