LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 265 



pase también por P|,j gire al rededor de este punto acercándose 

 siempre á p¡ ; el ángalo de a con otra recta b por P^ es constante é 

 igual á cero, de suerte que, al límite, el de p, con b será también 

 igual á cero. Si, al contrario, se considera que el ángulo de a con p, 

 es constante é igual á un cuadrante (un recto), se ve que el án- 

 gulo de una recta isótropa con cualquier recta que pasa por su 

 punto de contacto con el círculo en el infinito puede indiferente- 

 mente suponerse igual á cero ó á un cuadrante; observando que 

 una misma magnitud no puede ser igual á dos otras distintas una 

 de otra, á menos de ser indeterminada, resulta la exactitud de la 

 recíproca enunciada. 



Habríamos podido evitar toda la demostración anterior, basán- 

 donos en la propiedad, ya enunciada, de que la distancia entre dos 

 elementos, es igual á la de sus elementos polares recíprocos. Pero 

 es conveniente penetrarse bien de la verdad que encierran las pro- 

 piedades fundamentales de las rectas isótropas, y ver con claridad 

 que son la consecuencia lógica de las nociones elementales de adi- 

 ción de distancias y de ángulos, y de nuestro concepto del infi- 

 nito. 



ISormales á una recta isótropa. — Si p^ (fig. 47) es una recta isó- 

 tropa, su polo es su punto de contacto Pj; si desde cualquier pun- 

 to A queremos trazar una normal á Pj, no tenemos más que unir A 

 con el polo de p^. La recta APi es, pues, normal á /Jj; pero p^ pasa 

 también por su polo Pi ; se ve, pues, que auna recta isótropa es nor- 

 mal d si misma », y como dos rectas que se cortan sobre el círculo 

 en el infinito son paralelas, «toda recta paralela d una recta isó- 

 tropa le es también normal, y una recta isótropa es normal y para- 

 lela d sí misma». 



La contradicción aparente de estas verdades es muy á propósito 

 para hacer resaltar ciertos puntos de contacto, que irán esclare- 

 ciéndose poco á poco en el curso de este estudio, entre la geome- 

 tría absoluta, y la euclideana; en esta última tenemos también 

 rectas normales á sí mismas, y una de ellas, de que continuamente 

 hace uso la geometría proyectiva la más elemental, es la recta en 

 el infinito, que en el caso de esta geometría viene á sustituir el 

 círculo en el infinito; en efecto, la recta en el infinito contiene la 

 dirección de todas las rectas del plano, ó sea sus puntos en el infi- 

 nito; por consiguiente, es paralela á cualquier recta a, y entre otras 

 á sí misma; pero, esta recta en el infinito contiene también la di- 



