LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 267 



Para obtener la perspecliva de otro punto, C, de la cónica, tra- 

 zamos el rayo PjC, y juntamos el punto C con cualquier otro pun- 

 to de la cónica^ cuya perspectiva se conozca previamente, por ejem- 

 plo, con A ó con B; la recta AC corta el eje de perspectiva en P4, y 

 P4A' es la perspectiva de P^A. El punto C se encuentra en la in- 

 tersección de P4A' con PiA. 



Pero, en virtud del teorema sobre los ejes y centros de un cua- 

 drángulo inscrito en una cónica, si hubiéramos prolongado el rayo 

 PiA, que penetra en el interior del círculo S, hasta encontrarlo en 

 otro punto C^ (el punto de salida ¡le la recta PiA que penetra en 

 el interior de ü considerado como círculo), las rectas AG y A ' C^ 

 tendrían que cortarse sobre la polar pi del centro Pi del cuadrán- 

 gulo AA'C^C, es decir que A'C* pasaría por Pi, y que G* y G' coin- 

 ciden. De la misma manera se vería que, en general, la perspec- 

 tiva de un punto cualquiera E de H es el otro punto de intersección 

 E', del rayo proyectante PjE, con la cónica S. Si, en lugar de con- 

 siderar A' como imagen ó perspectiva de A, lo consideramos como 

 punto de la figura original, y lo designamos con D, su perspectiva 

 D' es el punto A mismo, pues las rectas GD y G'D' se cortan sobre 

 el eje de perspectiva p^ en virtud del mismo teorema relativo al 

 cuadrángulo. 



En resumen : Si se toma como centro de perspectiva un punto del 

 plano, como eje su polar con relación á una cónica ü, y como par 

 de ¡puntos correspondientes dos puntos de esta cónica alineados con 

 el centro, la cónica T, es perspectiva de si mis7na en el sistema con- 

 siderado. 



El sistema perpectivo obtenido goza de esta importante propiedad 

 de que^ si á un elemento F considerado como original, le corresponde 

 otro F' como perspectiva, reciprocamente, á F' considerado como 

 original, corresponde como perspectiva el mismo elemento anterior F, 



En efecto, sea F un punto del sistema original; juntemos BF que 

 corta en P5 el eje do perspectiva Pi; tracemos BP5, el rayo PiB corta 

 esta recta en B', perspectiva de B. Observemos ahora que, si con- 

 sideramos S como círculo en el infinito, la recta PiBB', que pasa 

 por el polo de pi, es normal á pu y la corta en el punto B" 

 medio de BB', como lo demostramos al establecer la propiedad de 

 los ejes del cuadrángulo (I) ; así mismo, la recta PiFF' corta nor- 



(1) Véase el teorema sobre el cuadrángulo inscripto %j el cuadrilátei^o circions- 

 cripto U una sección cónica en este mismo capítulo, página 258. 



