LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 269 



En el presente caso se trata de dos formas perspectivas en involu- 

 ción. 



Ya hemos encontrado otras formas que gozan de esta propiedad ; 

 por ejemplo, la polaridad recíproca. En esta, á un punto A, consi- 

 derado como sosten de una radiación plana, corresponde como 

 polar recíproca una serie de puntos en línea recta ó puntual, a; si, 

 al contrario, consideramos la puntual como figura original, y to- 

 mamos las polares de todos sus puntos, la figura recíproca coinci- 

 dirá con la A: será el mismo punto anterior considerado como 

 sosten de la radiación que forman las polares de todos los puntos 

 de la puntual. 



Involución y simetría. — La figura 50c llama la atención sobre 

 otra propiedad importante de la perspectiva involutiva. Las rectas 

 KK', FF' son normales al eje de perspectiva que las corta en sus 

 puntos medios K", F-' ; es decir, que la figura perspectiva (K', F', 

 etc.) es simétrica de la figura original, con relación aleje de perspec- 

 tiva p. Y recíprocamente, dos figuras simétricas, como F'K' y FK 

 en la figura 50c, son perspectivas una de otra para el eje de sime- 

 tría como eje de perspectiva, y para el punto de encuentro de las 

 normales KK', FF' etc., como centro de perspectiva; este punto 

 de encuentro es precisamente lo que hemos definido como punto 

 imaginario (1), y especialmente como polo absoluto de pi, es decir, 

 como polo de pi con relación al círculo en el infinito 21 , 



Pero estas perspectivas involutivas no solo son figuras simétricas 

 una de otra con relación á un eje, el de perspectiva, sino que son 

 también simétricas con relación á un centro, el de perspectiva, si se 

 considera la cónica S como imagen del círculo en el infinito. 



En efecto (fig. 50 a y b), si L es un punto del original, es el si- 

 métrico de su imagen L', con relación á p^ ; luego p^ corta LL' 

 normalmente en su punto medio L" ; como Pi es el polo de p,, PiL" 

 es una constante para todos los pares de puntos homólogos, y es 

 igual á un cuadrante, k; entonces 



p,L = k — LL" = k— L"L' = PiL' ; 



esto prueba que dos puntos correspondientes cualesquiera del ori- 



p (1) Véase capítulo VI Líneas equidistantes de una recta, página 121 y si- 

 guientes. En el mismo capítulo, página 162 : Determinación del pu7ito imagi- 

 nario por elementos reales, y especialmente, página 164 : Las normales á una 

 recta, ó d un plano, concurren á su polo absoluto. 



