GEOMETRÍA NO-EUGLIDEANA 



Toda conclusión supone premisas; estas premisas son ó bien 

 evidentes por sí mismas y no necesitan ser demostradas, ó sólo 

 pueden ser establecidas apoyándose en otras proporciones; y como 

 no podemos continuar este procedimiento hasta el infinito, toda 

 ciencia deductiva, y especialmente la geometría, debe descansar 

 en un cierto número de axiomas que no pueden ser demostrados. 

 Todos los tratados de geometría comienzan, por consiguiente, por 

 la enunciación de estos axiomas. Pero debe establecer una dife- 

 rencia entre ellos: algunos, como por ejemplo el siguiente : «Dos 

 cantidades iguales á una tercer cantidad son iguales entre sí» no 

 son proporciones geométricas sino analíticas. Las considero como 

 juicios analíticos apriori, y como tales no las discutiré. 



Pero debo insistir en otros axiomas privativos de la geometría. 

 La mayor parte de los textos los establecen muy explícitamente. 



1° Solo puede trazarse una línea recta entre dos puntos; 



2" La línea recta es la más carta distancia entre dos puntos ; 



3° Por un punto sólo puede trazarse una recta paralela á una 

 recta dada. 



Aún cuando generalmente se suprime la demostración del se- 

 gundo de estos axiomas sería posible deducirla de los otros dos, 

 y de aquellos, cuyo número es aún mas considerable, que admi- 

 timos explícitamente sin enunciarlos, como explicaré en lo que 

 sigue . 



Durante largo tiempo se han hecho también esfuerzos infructuo- 

 sos para demostrar el tercer axioma, conocido bajo el nombre de 

 postulado de Euclides. La suma de trabajo que se ha gastado en 



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