210 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



esta quimérica esperanza es^ en verdad, superior á todo cuanto 

 pueda imaginarse. 



Finalmente, á principios de este siglo, y casi simultáneamente, 

 los sabios Lowatchewski y Bolyai, ruso el primero y húngaro el 

 segundo, establecieron de una manera irrefutable, que tal de- 

 mostración era imposible; casi nos han librado de los inventores 

 de geometrías sin postulados: desde entóneosla Academia de Cien- 

 cias sólo recibe una ó dos nuevas demostraciones por año. 



La cuestión aún no había sido resuelta, pronto se dio un gran 

 paso por la publicación de la célebre memoria de Riemann, titu- 

 lada Ueber die Hypothesen urelche der Geometrie zum Grunde liegen. 



Este pequeño tratado ha inspirado la mayoría de las obras recien- 

 tes de que haré mención en lo que sigue, y entre las cuales deben 

 citarse las de Beltrami y Helmholtz. 



La Geometría de Lowatchewski. — Si fuera posible deducir el pos- 

 tulado de Euclides de los otros axiomas, sucedería evidentemente 

 que negando el postulado y admitiendo los axiomas, seriamos con- 

 ducidos á resultados contradictorios, sería pues imposible basar 

 una geometría coherente sobre tales premisas. 



Pues esto es precisamente lo que ha hecho Lowatchewski. Su- 

 pone en primer lugar que: 



Pueden trazarse por un punto varias rectas paralelas á una recta 

 dada. 



Y además conserva todos los otros axiomas de Euclides. De estas 

 hipótesis deduce una serie de teoremas entre los cuales es imposi- 

 ble notar contradicción, y construye una geometría cuya lógica no 

 es inferior ala de la Geometría Euclideana. 



Los teoremas son ciertamente muy diferentes de aquellos á que 

 estamos acostumbrados y algo nos desconciertan al principio. 



Así, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre menor 

 quedos rectos; y la diferencia entre esta suma y dos rectos es pro- 

 porcional á la superñcie del triángulo. 



Es imposible construir una figura semejante á otra dada y de 

 dimensiones diferentes. 



Si una circunferencia es dividida en n partes iguales y se tra- 

 zan tangentes en los puntos de división, estas n tangentes se en- 

 contrarán y forman un polígono, con tal que el radio de la circun- 

 ferencia sea bastante pequeño; pero si este radio es suficientemente- 

 grande, no se encontrarán. 



