GEOMETRÍA NO-EUCLIDEANA 211 



Es inútil multiplicar estos ejemplos; las proposiciones de Lowal- 

 chewski no tienen ninguna conección con las de Euclides, pero 

 no están menos lógicamente ligadas entre sí que éstas. 



La Geometría de Riemann. — Imaginemos un mundo poblado solo 

 con seres privados de espesor; supongamos que estos animales 

 «infinitamente chatos» estén todos en un solo plano, y que no 

 puedan salir de él. 



Admitamos, además, que este mundo esté suficientemente aleja- 

 do de otros para hallarse libre de su influencia. Así como hacernos 

 estas suposiciones, podemos igualmente dotar á estos seres con fa- 

 cultades de raciocinio y con la capacidad de fundar una geometría. 



En este caso ciertamente atribuirán al espacio sólo dos dimen- 

 siones. 



Pero supongamos ahora, que estos animales imaginarios, siem- 

 pre privados de espesor, tengan la forma de una porción de super- 

 ficie esférica, en vez de ser planos, y que todos estén sobre una 

 y misma esfera sin poder abandonarla. ¿Qué geometría construi- 

 rían?;,Es claro, á primera vista, que sólo atribuirían dos dimensio- 

 nes al espacio: que lo que jugaría para ellos el papel de línea 

 recta sería lamas pequeña distancia entre dospuntos en la esfera, 

 —es decir, un arco de círculo máximo ; en una palabra, su geome- 

 tría sería la geometría esférica. 



Lo que ellos llamarían espacio sería esta esfera que no pueden 

 abandonar, y en la cual ocurren todos los fenómenos de que pue- 

 den tener conocimiento. Su espacio será, pues, sin limites, desde 

 que en una esfera se puede siempre ir adelante sin jamás llegar á 

 un término y sin embargo será finito, — porque se puede hacer su 

 circuito aún cuando nunca se encuentre el límite. 



En realidad, la geometría de Riemann es la geometría esférica 

 extendida á lastres dimensiones. Para construirla, el matemático 

 alemán no solo tuvo que desechar los postulados de Euclides, 

 sino también el primer axioma: Solo puede trazarse una recta 

 entre dos puntos. 



En una. esfera sólo puede trazarse, en general, un círculo máxi- 

 mo que pase por dos puntos dados (el cual, según acabamos de 

 ver, representaría el papel de la línea recta para nuestros seres 

 imaginarios); pero éste tiene una excepción, puesto que si los dos 

 puntos dados están dianietralmente opuestos, puede hacerse pasar 

 por ellos un número infinito de círculo máximos. 



