212 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Del mismo modo, en la geometría de Riemann, sólo puede tra- 

 zarse, en general, una línea recta entre dos puntos; pero hay casos 

 excepcionales en que puede trazarse por ellos un número infinito 

 de rectas. 



Hay una especie de oposición entre la geometría de Riemann y 

 la de Lowatchewski. 



Así, la suma de los ángulos de un triángulo, es : 



Igual á dos rectos en la Geometría de Euclides ; 



Menor que dos rectos en la de Lowatchewski ; 



Mayor que dos rectos en la de Riemann. 



El número de paralelas á una recta dada que pueden trazarse 

 por un punto dado, es: 



Una en la Geometría de Euclides ; 



Cero en la de Riemann ; 



Infinito en la de Lowatchewski. 



Agreguemos que el espacio de Riemann es finito aún cuando sin 

 límites, en el sentido ya asignado á estas dos nalabras. 



Superficie de curvatura constante. — Era posible, sinembargo¡ha- 

 ceruna objeción. 



Los teoremas de Lowatchewski y de Riemann no presentan nin- 

 guna contradicción, pero, por más numerosas que sean las conse- 

 cuencias que estos geómetras han sacado de sus hipótesis, se han 

 visto o))ligados á detenerse antes de haberlas agotado todas, pues 

 su número hubiera sido infinito. ¿Quién puede pues decir, que 

 llevando más adelante sus deducciones, no se habrían encontrado 

 finalmente dichas contradicciones? 



Esta dificultad no existe para la geometría de Riemann, con tal 

 que se la limite á dos dimensiones; porque, en efecto, la geome- 

 tría de Riemann para dos dimensiones no difiere, como hemos vis- 

 to, de la geometría esférica, que es sólo una rama de la geometría 

 ordinaria, y por consiguiente del todo fuera de discusión. 



Beltrami, considerando del mismo modo á la geometría de dos 

 dimensiones de Lowatchewski como si sólo fuera una rama de la 

 geometría ordinaria, ha refutado igualmente la objeción en este 

 caso. 



Esto ha sido hecho de la manera siguiente: 



Considérese en una superficie una figura cualquiera. Imagíne- 

 se que esta figura, trazada en un paño flexible é inextensible, esté 

 colocada de tal manera en esta superficie, que cuando el paño se 



